結論
Macの場合以下コマンドでコピーできます。
$ git symbolic-ref --short HEAD | tr -d '\n' | pbcopy
説明
git symbolic-ref --short HEAD はカレントブランチを出力しますが、改行が含まれています。
そのため tr -d '\n' で改行を消し、クリップボードにコピーするMacのコマンド pbcopy にパイプで渡します。
Debian系ではpbcopy を xsel --clipboard --input に変えれば動くはずです。xsel が入っていなかったら apt-get でインストールしてください。
CentOSなどはやり方知りません。
$ sudo apt-get install xsel
tr -d '\n' の部分はもう少し良い書き方があるかもしれませんが、私はこの書き方が最初に思い浮かびました。
長いので alias を設定しておくと便利です。
~/.zshrcなど
alias copy-branch="git symbolic-ref --short HEAD | tr -d '\n' | pbcopy"
これでデプロイする際などにブランチをコピーするのが楽チンになりますね！
参考
get current branch name - Qiita
ターミナルで標準出力をクリップボードにコピーする - Qiita
Mac でも Linux でも一発でクリップボードにコピーする zsh の alias - mollifier delta blog