【HP】.htmlなしで表示したい

これを「.html」なしで表示する方法はありますか？

無いと思います。ファイル拡張子も含めてURLなので。。。

アップロードしたHTMLファイルのファイル拡張子を削除すれば（リネームすれば）できるかも??

ご利用中のApacheにてmod_rewriteモジュールが利用可能な環境であれば
.htaccessに下記を記述すれば行けるかもしれません。

また.htaccessを修正する場合は事前にバックアップをおとりする事を推奨致します!

<IfModule mod_rewrite.c>
    RewriteEngine On
    RewriteCond %{REQUEST_FILENAME} !-f
    RewriteCond %{REQUEST_FILENAME} !-d
    RewriteRule ^([^\.]+)$ $1.html [NC,L]
</IfModule>

Apache の mod_rewrite を使えば実現できます。

考えられる方法が２つあります。

１．サブディレクトリに分ける

デフォルトでアクセスされるファイル（DirectoryIndex）が指定されている場合、サブディレクトリに分けることでファイル名なしでアクセスできます。
例えば index.htmlが設定されている場合、hoge.htmlをhoge/index.htmlにすることで、https://example.com/hoge/のようにアクセスすることができます。

２．mod_rewriteでURLを書き換える

mod_rewriteが使えるなら、アクセスされた時のURLを書き換えて別のファイルを表示させることができます。

「htaccess 拡張子 省略」などと検索するといろいろヒットします。
例えばこちらの記事は.php拡張子についてですが、.htmlに置き換えることができると思います。

サーバーによって.htaccessで出来ることが異なる場合があります。
これらの方法が使えない場合もあると思うのでご了承ください。

カラフルボックスではmod_rewriteを使えるようですね。

トップページ以外のページが４０４エラーとなって表示されません。

トップページは index.html ですよね。それはデフォルトページとして .htaccess に登録済みだから https://asakura-mie.com/ を要求すると web サーバーでルート直下の index.html を探して応答として返してくれるという仕組みになっています。

一方、他のページは同じくルート直下にある web-design.html などのようですが、それを要求するには https://asakura-mie.com/web-design.html というように当該ページのファイル名を拡張子まで含めて url に設定しないと見つからない、すなわち 404 エラーとなります。

メニューバーの設定は下のような a 要素の href 属性になっているようですが、この web-design を web-design.html に直せば問題は解決するはずです。それが一番現実的な解決策ではないでしょうか？

どうしても拡張子なしで呼び出したいということであれば、他の回答者の方が提案されている URL 書き換えという手段があると思います。ただ、その副作用で望まぬ書き換えが起こらないように注意が必要かと思います。

URL 書き換えが使えない環境への移植性も考える必要があるかも。