Propsで渡すデータに改行タグを入れたかったので、
このように設定してみました。

import React from 'react';

// 型を定義する
type HeadlineType = {
  en: string | Array<string|JSX.Element>;
  ja: string;
}

// 子コンポーネント
const TheHeadline: React.FC<HeadlineType> = props => {
  return (
    <h1 className="headline">
      <div className="headline__en">{props.en}</div>
      <div className="headline__ja">{props.ja}</div>
    </h1>
  );
};

// 親コンポーネント
const App: React.FC = () => {
  return (
    <div id="app">
      <TheHeadline en={["Long Long", <br key="Some key" />, "Long Title"]} ja="長いタイトル" />
    </div>
  );
};

ポイントは、定義する型は、Element ではなく、JSX.Element ということ。
ここで時間かかってしまった。

[追記]
どうやら props で渡す引数にHTMLのタグがある場合、HTMLタグには任意のkey を指定しないと、
Warning: Each child in a list should have a unique "key" prop.
と警告が出るようです。

これでうまくいきました！

参考：https://stackoverflow.com/questions/33381029/react-how-to-pass-html-tags-in-props