【第1章：信号処理と線形系の表現】
1.1 伝達関数とは何か（ラプラス変換と周波数応答）
1.2 インパルス応答と畳み込み積分（システムの出力の一般形）
1.3 時不変線形システムにおける因果性と安定性
1.4 離散系との対比：Z変換と離散畳み込み
1.5 双一次変換とAD変換およびサンプリング定理
【第2章：積分と極限操作の相互関係】
2.1 リーマン積分の限界：極限操作の非交換性
2.2 モチベーション：$\lim_{n\to\infty} \int f_n \overset{?}{=} \int \lim_{n\to\infty} f_n$
2.3 交換可能条件（被積分関数の一様収束や優収束）
2.4 例と反例の具体的検討（Dirichlet関数など）
【第3章：ルベーグ積分の導入】
3.1 測度空間とルベーグ測度の定義
3.2 単関数近似とルベーグ積分の定義
3.3 リーマン積分との比較と優位性
3.4 直観と応用（確率、信号の平均、エネルギー）
【第4章：イプシロン-デルタ論法と実数の構成】
4.1 $\varepsilon$-$\delta$ 論法：極限と連続性の厳密定義
4.2 実数の構成1：デデキント切断
4.3 実数の構成2：コーシー列による完備化
4.4 有理数の稠密性と上限・下限
【第5章：集合と測度の準備】
5.1 写像、像・逆像、合成写像の厳密定義
5.2 濃度：可算集合と非可算集合（連続体）
5.3 σ-加法族と可測集合の構成
5.4 カルテジアン積と外測度・内測度
【第6章：可測関数と収束定理】
6.1 可測関数の定義と特性関数による構成
6.2 ルベーグ積分の線形性・単調性
6.3 収束定理：
- 単調収束定理（MCT）
- 優収束定理（DCT）
- ファトゥの補題（Fatou's Lemma）
6.4 応用：信号近似・期待値の極限・確率論への拡張
6.5 フーリエ級数展開
6.6 関数空間とノルム空間
6.7 ヒルベルト空間と直交展開
6.8 バナッハ空間とハーン・バナッハの定理
6.9 分布と弱微分・超関数理論
6.10 測度論的確率と確率空間
6.11 凸関数と最適性条件（KKT条件）
【補章：列とその極限構造】
A.1 数列の収束と点列の収束
A.2 部分列、上極限・下極限の定義と直感
A.3 実数直線における完備性とボルツァーノ・ワイヤストラスの定理
A.4 関数列の収束（点収束・一様収束・L¹収束）とその違い
【到達目標】
- 畳み込み積分における極限と積分の操作の正当化
- 測度論とルベーグ積分を使った現代数学的信号解析の理解
- 収束定理に基づく関数列解析と応用的推論の習得
- 実数・関数・可測空間といった数学的基盤を系統立てて運用
【想定読者】
- 高校後半〜大学初年次：イプシロンデルタ、畳み込みの感覚理解
- 大学生〜大学院：測度論、収束定理、構成論的実数
- AI/信号処理分野の実務家：積分交換や近似処理の妥当性理解の補強に