【第1章：信号処理と線形系の表現】

1.1 伝達関数とは何か（ラプラス変換と周波数応答）
1.2 インパルス応答と畳み込み積分（システムの出力の一般形）
1.3 時不変線形システムにおける因果性と安定性
1.4 離散系との対比：Z変換と離散畳み込み
1.5 双一次変換とAD変換およびサンプリング定理

【第2章：積分と極限操作の相互関係】

2.1 リーマン積分の限界：極限操作の非交換性
2.2 モチベーション：$\lim_{n\to\infty} \int f_n \overset{?}{=} \int \lim_{n\to\infty} f_n$
2.3 交換可能条件（被積分関数の一様収束や優収束）
2.4 例と反例の具体的検討（Dirichlet関数など）

【第3章：ルベーグ積分の導入】

3.1 測度空間とルベーグ測度の定義
3.2 単関数近似とルベーグ積分の定義
3.3 リーマン積分との比較と優位性
3.4 直観と応用（確率、信号の平均、エネルギー）

【第4章：イプシロン-デルタ論法と実数の構成】

4.1 $\varepsilon$-$\delta$ 論法：極限と連続性の厳密定義
4.2 実数の構成1：デデキント切断
4.3 実数の構成2：コーシー列による完備化
4.4 有理数の稠密性と上限・下限

【第5章：集合と測度の準備】

5.1 写像、像・逆像、合成写像の厳密定義
5.2 濃度：可算集合と非可算集合（連続体）
5.3 σ-加法族と可測集合の構成
5.4 カルテジアン積と外測度・内測度

【第6章：可測関数と収束定理】

6.1 可測関数の定義と特性関数による構成
6.2 ルベーグ積分の線形性・単調性
6.3 収束定理：

単調収束定理（MCT）
優収束定理（DCT）
ファトゥの補題（Fatou's Lemma）
6.4 応用：信号近似・期待値の極限・確率論への拡張
6.5 フーリエ級数展開
6.6 関数空間とノルム空間
6.7 ヒルベルト空間と直交展開
6.8 バナッハ空間とハーン・バナッハの定理
6.9 分布と弱微分・超関数理論
6.10 測度論的確率と確率空間
6.11 凸関数と最適性条件（KKT条件）

【補章：列とその極限構造】

A.1 数列の収束と点列の収束
A.2 部分列、上極限・下極限の定義と直感
A.3 実数直線における完備性とボルツァーノ・ワイヤストラスの定理
A.4 関数列の収束（点収束・一様収束・L¹収束）とその違い

【到達目標】

畳み込み積分における極限と積分の操作の正当化
測度論とルベーグ積分を使った現代数学的信号解析の理解
収束定理に基づく関数列解析と応用的推論の習得
実数・関数・可測空間といった数学的基盤を系統立てて運用

【想定読者】

高校後半〜大学初年次：イプシロンデルタ、畳み込みの感覚理解
大学生〜大学院：測度論、収束定理、構成論的実数
AI/信号処理分野の実務家：積分交換や近似処理の妥当性理解の補強に