はじめに

高校数学では数列の漸化式を変形して解く方法を学習します。質問も多いところですよね。

#３項間漸化式

３項間漸化式の漸化式については教科書では『発展』『応用』などとして取り上げられています。

今回は結果だけですが，

$$a_{n+2}-(\alpha+\beta)a_{n+1}+\alpha\beta a_n=0$$

の形の漸化式を解くと，

$\alpha\neq\beta$のときは
$$a_n=p \alpha^{n-1}+q \beta^{n-1}\quad(p,,q は定数)$$

$\alpha=\beta$のときは
$$a_n=(pn+q) \alpha^{n-1}\quad(p,,q は定数)$$

という形になります。

#４項間漸化式

$$a_{n+3}-(\alpha+\beta+\gamma)a_{n+2}+(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) a_{n+1}-\alpha\beta\gamma a_n=0$$

の漸化式は

$\alpha$，$\beta$，$\gamma$が全て異なれば，
$$a_n=p \alpha^{n-1}+q \beta^{n-1}+r\gamma^{n-1}\quad(p,,q,,r は定数)$$
$\alpha=\beta=\gamma$であれば，
$$a_n=(pn^2+qn+r) \alpha^{n-1}\quad(p,,q,,r は定数)$$
$\alpha=\beta\neq\gamma$であれば，
$$a_n=(pn+q)\alpha^{n-1}+r \gamma^{n-1}\quad(p,,q,,r は定数)$$

という形で表すことができます。

漸化式の変形

漸化式をどう変形するかが分かれば，求めることができます。

$a_{n+3}-(\beta+\gamma)a_{n+2}+\beta\gamma a_{n+1}=\alpha\left(a_{n+2}-(\beta+\gamma)a_{n+1}-\beta\gamma a_n\right)$

$a_{n+3}-(\gamma+\alpha)a_{n+2}+\gamma\alpha a_{n+1}=\beta\left(a_{n+2}-(\gamma+\alpha)a_{n+1}-\gamma\alpha a_n\right)$

$a_{n+3}-(\alpha+\beta)a_{n+2}+\alpha\beta a_{n+1}=\gamma\left(a_{n+2}-(\alpha+\beta)a_{n+1}-\alpha\beta a_n\right)$

ここまで来れば，いろんな漸化式の形が予想できます。

例えば，特性方程式が6次方程式で，その解が

$x=\alpha（3重解）,\beta（2重解），\gamma（単解）$

とすると，

$a_n=(an^2+bn+c)\alpha^{n-1}+(dn+e)\beta^{n-1}+f\gamma^{n-1}$

と考えられる！