シリーズ
ローレンツゲージにおけるマクスウェルの方程式
証明はここ
\boldsymbol{A} = \left(\frac{\phi}{c}, A_x, A_y, A_z \right) \tag{電磁ポテンシャル}
\boldsymbol{i} = \left(\rho c, i_x, i_y, i_z \right) \tag{4元電流密度}
\Box \boldsymbol{A} = - \mu_0 \boldsymbol{i} \tag{ローレンツゲージにおけるマクスウェルの方程式}
\mathbf{div} \boldsymbol{A} + \frac{1}{c^2} \frac{∂ \phi}{∂t} = 0 \tag{ローレンツ条件}
相対論的なマクスウェルの方程式
証明はここ
\boldsymbol{A} = \left(\frac{\phi}{c}, A_x, A_y, A_z \right) \tag{電磁ポテンシャル}
\boldsymbol{i} = \left(\rho c, i_x, i_y, i_z \right) \tag{4元電流密度}
\Box A^\mu - ∂^\mu \left(∂_\nu A^\nu \right)
= - \mu_0 i^\nu \tag{相対論的なマクスウェルの方程式}
∂_\nu i^\nu = 0 \tag{相対論的な電荷の保存則}
∂_\nu A^\nu = 0 \tag{相対論的なローレンツ条件}
ゲージ変換
\boldsymbol{A}^{’} = \boldsymbol{A} + \mathbf{grad} \chi
\phi^{’} = \phi - \frac{∂ \chi}{∂t}
電磁気でよく使用するベクトル公式
\mathbf{rot} (\mathbf{rot} \boldsymbol{X}) = \mathbf{grad} (\mathbf{div} \boldsymbol{X}) - \triangle \boldsymbol{X}
\mathbf{rot} \cdot\mathbf{grad} \phi = \boldsymbol{0}
\mathbf{div} \cdot\mathbf{rot} \boldsymbol{X} = 0