整数と配列の違いについて

・上でa[i]がなくてもなぜ正解となれたのか？

配列aは定義しているだけで、値も設定しておらず、未使用の変数であるため。

・なぜ上だけ<=にしなければならないのか？

変数iの値をansに加算しているので、20まで加算する必要があるため。0は加算しても答えは変わらない。

・なぜ上で拡張for文にしてはいけないのか？

配列aは値を設定しておらず、もし、拡張for文で参照すると、値はどれも0であるため。

ｎが２０の時、答えはどちらも２１０となりますが、一応上の２つは正解となっています。
しかし、記述が異なって例えば上の問いを下のコードで書いてもエラーになり、その逆でもエラーになります。

まず、前提が間違っています。

前者は「1からnまでの和」
後者は「要素数がnである配列に入っている整数(今回の場合は入力した値)の和」
なので求められている結果が異なります。

それを踏まえて回答しますが、

・上でa[i]がなくてもなぜ正解となれたのか？

int[] aを定義しただけで、使用していない(必要ない)からです。

int[] aの定義を除いた下記のコードでも動作します。

import java.util.Scanner;

public class Main {
    public static void main(String[] args) throws Exception {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt();
        
        int ans = 0;
        for (int i = 0; i <= n; i++) {
            ans += i;
        }
        System.out.println(ans);
    }
}

・なぜ上だけ<=にしなければならないのか？

配列は添え字が0から始まるからです。
int[] a = new int[5];と定義した場合、
a[0],a[1],a[2],a[3],a[4]の5個になるので
後者はi < nと添え字が4までで止まる(nを含まない)ようになっています。

上記に対し、前者は「1からn」までなので
「nを含む」必要があるからです。

・なぜ上で拡張for文にしてはいけないのか？

拡張for文は
「配列やコレクションの要素の数だけ繰り返しを行う」ものなので
前者の場合「してはいけない」というより
「書きようがない」ということになります。