の演習問題を解いているが解答が本書内にもネット上にもない模様。自分の解答を晒して間違いにツッコミをいただき理解を深めようという試み。

-　問9.1

\begin{align}
\begin{bmatrix}
0.9 & 0    & 0.05 \\
0.1 & 0.95 & 0 \\
0   & 0.05 & 0.92 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_{t_1} \\
x_{t_2} \\
x_{t_3} \\
\end{bmatrix}
&=
\begin{bmatrix}
x_{(t+1)_1} \\
x_{(t+1)_2} \\
x_{(t+1)_3} \\
\end{bmatrix} \\
x_{(t+1)_1}&=0.9x_{t_1}\quad\quad\quad+0.05x_{t_3} \\
x_{(t+1)_2}&=0.1x_{t_1}+0.95x_{t_2} \\
x_{(t+1)_3}&=\quad\quad\quad0.05x_{t_2}+0.95x_{t_3} \\
\end{align}

問9.2
- (a) セクター３のt期がセクター２のt+1期の産出量に及ぼす影響の度合い。
- (b)

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

a = np.array([0.6, 0.9, 1.3, 0.5])
B = np.array([[0.1, 0.06, 0.05, 0.70], [0.48, 0.44, 0.1, 0.04], [0.0, 0.55, 0.52, 0.04], [0.04, 0.01, 0.42, 0.51]])

sum_a = []
sum_a.append(sum(a))
for i in range(1, 20):
  a = B @ a
  sum_a.append(sum(a))

plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.plot(list(range(1, 21)), sum_a)

plt.xlabel('time')
plt.ylabel('sum_a')
plt.show()

問9.3

\begin{align}
(I-A)z&=c \\
z&=(I-A)^{-1}c \\
また、\\
Fz&=g \\
z&=F^{-1}g \\
より、\\
F&=I-A\\
g&=c
\end{align}

問9.4

\begin{align}
x_{t+1}&=A_1x_t+A_2x_{t-1} \\
z_t&=
\begin{bmatrix}
x_t \\
x_{t-1} \\
\end{bmatrix}\\
z_{t+1}&=
\begin{bmatrix}
x_{t+1} \\
x_t \\
\end{bmatrix}\\
&=
\begin{bmatrix}
A_1 & A_2 \\
1   & 0 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_t \\
x_{t-1} \\
\end{bmatrix}\\
よって、B&=
\begin{bmatrix}
A_1 & 0 \\
0   & A_2 \\
\end{bmatrix}となるBを考えれば\\
z_{t+1}&=Bz_tとなる。
\end{align}

問9.5

\begin{align}
問9.4より、\\
x_{t+1}&=A_1x_t+A_2x_{t-1}\\
z_t&=(x_t, x_{t-1}) \\
\iff z_{t+1}&=Bz_t\\
y_{t+1}&=y_t+y_{t-1} \\
x_t&=(y_t, y_{t-1}) \\
x_{t+1}&=Bx_t \\
B&=\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
1 & 0 \\
\end{bmatrix}
\end{align}

import numpy as np

x = np.array([0, 1])
B = np.array([[1, 1], [1, 0]])
print(x[0])
for i in range(20):
  x = B @ x
  print(x[0])

修正フィボナッチ数列

\begin{bmatrix}
z_t \\
z_{t-1} \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 & -1 \\
1 & 0 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
z_{t-1} \\
z_{t-2} \\
\end{bmatrix}

import numpy as np

z = np.array([0, 1])
B = np.array([[1, -1], [1, 0]])
print(z[0])
for i in range(20):
  z = B @ z
  print(z[0])

問9.6

\begin{align}
x_t&=\frac{u_1+u_2+\cdots+u_{t-1}}{t-1} \\
x_{t+1}&=\frac{u_1+u_2+\cdots+u_{t-1}+u_t}{t} \\
&=\frac{t-1}{t}\left(\frac{u_1+u_2+\cdots+u_{t-1}}{t-1}+\frac{u_t}{t-1}\right) \\
&=\frac{t-1}{t}\left(x_t+\frac{u_t}*{t-1}\right) \\
&=\frac{t-1}{t}x_t+\frac{u_t}{t}

\end{align}

問9.7

X_{t+1}=AX_t+Bu_t \\
t １単位につき、計算量は\\
(n+(n-1))\times n \\
(m+(m-1))\times m \\
(2n-1)n+(2m-1)m \\
が10^5回あるから\\
{(2\times15-1)\times 15+(2\times 5 - 0.5)}\times10^5 \\
4.85\times10^7 \\
\frac{4.85\times10^7}{10^9}=4.85\times10^{-2}s