やり尽くされたようなテーマですが、
高校数学3までの知識があれば理解及び実装が容易のため、投稿させて頂きます。

入力: 非負有理数 m(!=1) & 精度p (P＞0)
目標: |ln(m)-A|<p　となるような有理数Aを求める。(ln(x)でxの自然対数を表す。)
方法:

次の2つの命題が証明されます。ただし、m＞1
(i)

(ii)

(i)はnに関する帰納法、
(ii)は0<=t<=x<=(m-1)/(m+1)という不等式を用いればよいです。

(i), (ii)から、

が得られるので、(右辺)＜pを満たすnを求めて、左辺の第2項を計算し、それが近似値として使えます。
m＜1の場合は、㏑(1/m)の近似値を求めて -㏑(1/m)を出力します。

以下、Pythonコード

Python

import numpy as np

n=0.03 #input
m=n if n>=1 else 1/n 
# print(m)
p=0.0001 #input


def error(m,n):
    denom=2*m*(2*n+1)*(m+1)**(2*n-1)    
    return ((m+1)**2)*((m-1)**(2*n-1))/denom

def ap_A(n,m):
    s=0
    for k in range(1,n+1):
       r=((m-1)/(m+1))**(2*k-1)
       s+=r/(2*k-1)
       #print(s)
    return 2*s

def n_finder(m,p):
    n=1
    while error(m,n)>p:
        n+=1
        #print(n,error(m,n))
    return n

ap=ap_A(n_finder(m,p),m)
if n<1: ap=-ap
print("An approximate value A s.t. |ln(n)-A|<p is ", ap) # output of result
print(abs(np.log(n)-ap)<p) # check