本記事は、中部大学 新谷研究室 Advent Calendar（論文紹介シリーズ）の一編です。
取り上げる論文は 新谷が共著の査読付き原著論文（JPSJ 2015）です。
DOI: https://doi.org/10.7566/JPSJ.84.124802
概要（TL;DR）
- 着想：大動脈弁閉鎖（AVC）で励起され、血液に囲まれた心室中隔（IVS）を伝わる拍動性ガイド波を Rayleigh–Lamb 型で理論化。
- 主結果：小波数極限で普遍係数 $(1/\sqrt{3})$ を含む 「単純分散式」 を導出し、従来の超越的分散方程式を閉じた形で近似できる道筋を提示。
- 適合性：超音波フェーズトラッキングのin vivoデータに対し、10–90 Hz の広帯域で位相速度の周波数依存性を良好に再現。Voigt粘弾性の弾性率・粘性係数を非線形最適化に頼らず一意に推定可能であることを示した。
- 意義：非侵襲的な心筋粘弾性定量に新しい理論基盤。弾性マップ化や拡張機能障害・線維化の評価など、臨床応用への道を拓く。
背景と位置づけ
- 心室中隔（IVS）は薄い粘弾性プレートとみなせ、血液中に浸された境界（非トラクションフリー）のため、エネルギーが血液側へ漏洩する**ガイド波（Lamb波）**問題となる。
- AVC 時に励起される拍動性ガイド波は、高時間・高空間分解能の超音波フェーズトラッキングで位相分布として観測できる。
- 既存のRayleigh–Lamb分散式は超越的で取り扱いが重い。本研究は小波数極限の解析解で簡潔な分散式を与え、実測データに直結する形へ落とし込んだ。
問題設定（A0モード・小波数極限）
- 解析対象は、IVSの左右で変位がほぼ反対向きとなる 反対称ゼロ次（A0）モード。
- 主要記号（半厚さを (h) とする無次元化）
- $(x \equiv h k_L)$（Lamb波の縦方向波数）, $(y \equiv h k_S)$（せん断波数）
- $(z \equiv h \beta)$, $(u \equiv h \eta)$（境界条件・漏洩を含む補助量）
- 血液漏洩を考慮した修正Rayleigh–Lamb方程式（詳細は原著参照）から、小波数 $(x \ll 1)$ に対して近似展開を行う。
導出の核：1/√3を含む単純分散式
小波数域のテイラー展開により、A0モードの支配式はつぎの簡単形に落ちる（自明解を除く）：
y \;=\; \frac{1}{\sqrt{3}}\, x^{2} \qquad (x \ll 1)
速度表示$(k=\omega/c)$へ写像し、Lamb波速度 $(c_L)$、せん断波速度 $(c_S)$、周波数 $(f) $で表すと、単純分散式：
c_L^{2} \;-\; K\, h\, f\, c_S \;=\; 0,
\qquad
K \equiv \frac{2\pi}{\sqrt{3}}.
この式から直ちに
(i) $(c_S)$ を一定とみなせば $(c_L(f) = c_0 \sqrt{f})（(c_0=\sqrt{K h c_S})）$の平方根分散が得られ、
(ii) $(c_L) $が一定なら$ (c_S(f) \propto f^{-1}) $が従う。
補足：数値解で得られる普遍定数 $(\tau)$ は $(\tau \approx 1/\sqrt{3}) $と極めて近く、Euler–Mascheroni 定数 $(\gamma)$ との近接も議論される（境界がより複雑な場合の示唆であり、同一視や証明ではありません）。
実測データとの整合：10–90 Hzにわたる再現
- in vivo超音波計測の位相速度 $(c_{\mathrm{ph}}(f))$ は $(10\le f \le 90) Hz$ で明瞭な周波数分散を示す。
- 単純分散式の $(c_L(f)=c_0\sqrt{f})$ は、この広帯域の傾向をパラメタ極小で記述。
- 実効的に $(c_{\mathrm{ph}} \approx c_L) $と置けば、1本の直線$（(\sqrt{f})$ スケール）でフィット可能—従来の複雑な数値最適化に比べ、頑健で物理直観的。
粘弾性推定（Voigtモデル）— 非線形最適化に頼らない手順
心筋をVoigtモデル $(\mu = \mu_1 + i,\omega \mu_2)$（$(\mu_1)$：弾性、$(\mu_2)$：粘性）で表す。
このとき、せん断波速度 $(\tilde{c}_S)$ は
\tilde{c}_S(f,\mu_1,\mu_2)
\;=\;
\sqrt{\frac{\mu_1}{\rho_m}}\;
\Bigg[\,1+\Big(\frac{2\pi f\,\mu_2}{\mu_1}\Big)^{2}\,\Bigg]^{1/4}.
単純分散式を粘弾性に拡張：
\tilde{c}_L^{2} \;-\; K\, h\, f\, \tilde{c}_S \;=\; 0.
ここから 粘性係数 (\mu_2) は
\mu_2
\;=\;
\frac{\mu_1}{2\pi f}\,
\sqrt{\Big(\frac{\tilde{c}_L^{2}}{K h f\, v_1}\Big)^{4} - 1}
\;=\;
\frac{\mu_1}{2\pi f}\,
\sqrt{\Big(\frac{\tilde{c}_S}{v_1}\Big)^{4} - 1},
\qquad
v_1 \equiv \lim_{f\to 0}\tilde{c}_S \;=\; \sqrt{\frac{\mu_1}{\rho_m}}.
実務フロー（例）
- 超音波位相から $(c_{\mathrm{ph}}(f)) $を取得し、$(\sqrt{f}) $に対して線形フィット→ 係数 (c_0)。
- 単純分散式より $(c_0^2 = K h c_S)$ から $(c_S)$ を推定。
- 低周波極限から $(\mu_1=\rho_m v_1^2)$ を与え、上式で $(\mu_2)$ を一意推定。
→ 非線形最適化に依存しない、解釈容易で再現性の高い推定系。
適用範囲と限界
- 小波数域$(h k_L \lesssim 1)$のA0モードが主適用範囲。
- 等方・一様近似、血液漏洩の有効表現、板厚 (2h) の測定誤差が推定値に影響。
- 心筋の異方性・時相変化や高次モードが優勢な状況では、原著の一般式・数値解が必要。
生理・臨床的含意
- 非侵襲に弾性$(\mu_1)$・粘性$(\mu_2)$ を推定できれば、拡張機能障害や線維化の早期指標として有用。
- 弾性マップ化や、収縮リズム異常の力学的基盤（波動伝搬・境界条件の変化）解析に資する。
- ガイド波の単純分散という汎用フレームは、SPOC/HSOsなどサルコメア動態研究の中間スケールとも橋渡し可能。
論文情報・引用
Naoaki Bekki, Seine A. Shintani
Simple Dispersion Equation Based on Lamb‑Wave Model for Propagating Pulsive Waves in Human Heart Wall.
Journal of the Physical Society of Japan 84, 124802 (2015).
DOI: https://doi.org/10.7566/JPSJ.84.124802
推奨引用形式（BibTeX）
@article{BekkiShintani2015JPSJ,
author = {Naoaki Bekki and Seine A. Shintani},
title = {Simple Dispersion Equation Based on Lamb-Wave Model for Propagating Pulsive Waves in Human Heart Wall},
journal = {Journal of the Physical Society of Japan},
year = {2015},
volume = {84},
pages = {124802},
doi = {10.7566/JPSJ.84.124802}
}
参考文献
- L. Rayleigh (1885); H. Lamb (1917); A. H. H. Love (1906) — 境界をもつ弾性体の古典
- H. Kanai (2005, 2009) — フェーズトラッキングによるin vivo心筋計測
- N. Bekki & K. Nozaki (1985) — CGLEのhole解（位相欠陥・振幅ディップ）
- S. Ishiwata et al. (2011); S. A. Shintani et al. (2015) — 心筋薄フィラメント・HSOの関連
詳細な書誌一覧は原著本文のReferencesを参照ください。