本記事は、新谷（著者）が主著／共著として関与した査読付き原著論文の要約です。
論文: Takumi Washio, Toshiaki Hisada, Seine A. Shintani, Hideo Higuchi (2017)
DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevE.95.022411
概要（TL;DR）
- 三状態（非結合／前ストローク／後ストローク）モデルを、ミオシン分子の微視ダイナミクスとサルコメアのメソスケール運動方程式に一体化（rank‑1 update）して定式化。
- 定常解の線形化からヤコビ行列の固有モードを解析的に導出し、SPOC（自発振動）成立に必要な固有値条件を明示式で提示。
- 生理的範囲のパラメータで、実正の固有値が2つ出現：
- 大きい固有値 → 急速伸長（quick relaxation）を担う集団的リバーサルストローク
-
小さい固有値 → 続く緩徐な短縮（slow shortening）
という二相性波形の力学的起源を説明。
- 発振の起点自体はHopf分岐だが、実運動域では共役対→実軸上の2根へ連結し、上記二相性を与えることを示した。
背景
SPOC（自発振動）は、外因性のCa²⁺トランジェントが無くても筋原線維が振動する現象。従来広く用いられた二状態モデルでは、発振の鍵が力や座標依存の脱離速度に置かれてきた。一方、筋収縮はパワーストローク原理に立脚するため、前／後ストロークを含む三状態での理論化が望まれていた。
モデルの要点（3状態パワーストローク）
- 状態：非結合 $P_{\mathrm{XB}}$、前ストローク $XB_{\mathrm{pre}}$、後ストローク $\mathrm{XB}_{\mathrm{post}}$。
- ミオシン弾性腕の歪み $x$ と作業距離 $s$ により、ストロークで歪みが $x \mapsto x+s$、リバーサルで $x+s \mapsto x$。
- 前後ストロークの速度定数 $f(x), b(x)$ は、自由エネルギー差に基づく詳細釣合を満たす：
- $ \displaystyle \frac{f(x)}{b(x)}=\exp!\left(-\frac{\Delta E(x)}{kT}\right) $
- $ \displaystyle \Delta E(x)=E_{\mathrm{pos}}+\tfrac{1}{2}k_M(x+s)^2-\left(E_{\mathrm{pre}}+\tfrac{1}{2}k_M x^2\right) $
- 付着 $a$・脱離 $d(x), g(x)$ を含め、半サルコメア運動は
- $ \displaystyle \gamma ,\dot z = k_M,B p - k_Z z $
とメソ–ミクロ結合で記述（$p$ は歪み分布ベクトル、$B$ は力の写像、$\gamma$ は粘性、$k_Z$ は受動弾性）。
- $ \displaystyle \gamma ,\dot z = k_M,B p - k_Z z $
用語補助： $u(x)=f(x)+d(x)$、$v(x)=b(x)+g(x)$、$e(x)=u(x)v(x)-f(x)b(x)$。
解析のキモ（rank‑1 update と固有値条件）
定常解 $(p_0,z_0)$ 近傍の線形化で得られるヤコビ行列は、等尺（isometric）遷移行列への rank‑1 更新として表され、不安定化条件は次式で与えられる：
-
固有値条件：
$ \displaystyle \lambda,k_M,B,(A+\lambda I)^{-1}C,p_0;-;\lambda,\gamma;-;k_Z ;=;0 $
ここで $A$ は状態遷移、$C$ は速度による分布シフトの作用素。解析を助けるスカラ関数
- $ \displaystyle K(\lambda)\equiv \lambda,k_M,B,(A+\lambda I)^{-1}C,p_0-\lambda \gamma $
を導入すると、$K(\lambda)>0$ をとる $\lambda>0$ の存在が発振可能性を示唆し、$k_Z<K_{\max}$で実正固有値が2つ現れる典型が生じる。補助関数として - $ \displaystyle h_\lambda(x)=[u(x)+\lambda][v(x)+\lambda]-f(x)b(x) $
が現れ、前後ストロークの歪み依存が安定性を左右する。
主要結果
-
二つの実正固有値
- 大きい固有値：集団的リバーサルストローク→急速伸長（急峻な上り）を形成。
-
小さい固有値：緩徐な短縮の時間スケールを規定（周波数に対応）。
従って、SPOC 波形の急速弛緩＋遅い収縮という二相性が、固有モード分担として説明される。
-
Hopf→実根分岐
不安定化の起点はHopf分岐（共役複素対の実部が正へ）だが、実運動域では実軸上の二根に連結／分岐して二相性を生む。 -
パラメータ依存
- 作業距離 $s$、受動弾性 $k_Z$、粘性 $\gamma$、および脱離バランス $d,g$ が $K(\lambda)$ の形を決める。
- とくに後ストローク→前ストローク→脱離の経路（ATP非消費のリバーサル経由脱離）が強いと、迅速な弛緩が起こりやすい。
- 一方、非結合→前→後への移行が「容易すぎる」と $K(\lambda)$ を押し下げ、発振を阻害し得る。
生理・工学的意義
- 心筋や非同期昆虫筋に見られる自然振動のミクロ–メソ連成の統一説明。
- 急速弛緩がATP非消費のリバーサル経由脱離で起こり得ることを示し、拍動ごとの圧力低下の迅速性やエネルギー効率への示唆を与える。
- 心臓のマルチスケールシミュレーションに組み込むことで、拍動間の仕事量・消費の分子論的見積りの理論基盤となる。
限界と今後
- 本解析は定常解の線形化に基づくため、大振幅周期の確定や波形の非線形整形は射程外。
- ATPase サイクルの全状態や三次元幾何（オーバーラップ・結合部位配置等）は簡略化。拡張状態図・幾何学・非線形縮約の導入が今後の課題。
用語メモ
- SPOC：自発的筋原線維振動。
- パワーストローク／リバーサルストローク：前⇄後ストローク間の遷移。
- rank‑1 update：行列 $M$ にベクトル外積 $uv^\top$ を足す一次更新。
- $K(\lambda)$：ヤコビ行列の不安定モード検出に用いるスカラ関数。
論文情報・引用
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Takumi Washio, Toshiaki Hisada, Seine A. Shintani, Hideo Higuchi
Analysis of spontaneous oscillations for a three‑state power‑stroke model.
Physical Review E 95, 022411 (2017).
DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevE.95.022411
推奨引用（BibTeX）
@article{Washio2017ThreeStateSPOC,
author = {Takumi Washio and Toshiaki Hisada and Seine A. Shintani and Hideo Higuchi},
title = {Analysis of spontaneous oscillations for a three-state power-stroke model},
journal = {Physical Review E},
year = {2017},
volume = {95},
pages = {022411},
doi = {10.1103/PhysRevE.95.022411}
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