Similarly, $\phi_3(z)$, $\phi_4(z)$, $\phi_6(z)$, $\phi_7(z)$, and $\phi_8(z)$ can also be expressed using $\phi_1(z)$ and $\phi_5(z)$. Substituting these into the first and fifth equations and rearranging yields the following form.

$$
\left(\begin{array}{ll}
\overline {H(E)} _{11} & \overline{H(E)} _{15} \\
\overline{H(E)} _{51} & \overline{H(E)} _{55}
\end{array}\right)\binom{\phi_1(z)}{\phi_5(z)}=0
$$

It can be easily shown that $\overline{H(E)} _{11}=\overline{H(E)} _{55}$. By doing so, the original 8$\times$8 matrix can be reduced to a 2$\times$2 matrix containing only the $\left | {\rm CB}\uparrow,\;\downarrow\right >$ (conduction band). To obtain the eigenenergy $E$ most accurately, one must further reduce it once more, and then numerically solve the equation:
$$
\left(\overline{H(E)} _{11}-\overline{H(E)} _{15}\;\; \overline{H(E)} _{11}^{-1}\;\; \overline{H(E)} _{51}\right) \phi_1(z)=0
$$

By the way, from the perspective of deriving the Rashba term, it is better not to perform this final reduction and leave it as a 2×2 matrix for $\left | {\rm CB}\uparrow,\;\downarrow\right >$ (conduction band).

For simplicity, assuming that $k_{\parallel} \equiv \sqrt{k_x^2+k_y^2}$ is very small and setting $k_\parallel ^2=0$, $\overline{H(E)} _{11}$, $\overline{H(E)} _{15}$, $\overline{H(E)} _{51}$ are written as

$$
\overline{H(E)} _{11}= \frac{\hbar^2 \hat{k} _z^2}{2 m}
$$

$$
+\frac{1}{3} P(z) \hat{k} _z
\left\{ 2 \left(E-E _{\Gamma 8}(z)-\frac{\hbar^2 \hat{k} _z^2}{2 m}\right)^{-1}\right.
$$

$$
\left. + {
\left(
E-E _{\Gamma 7}(z)-\frac{\hbar^2 \hat{k} _z^2}{2m}
\right)^{-1} } \right\} \hat{k} _z P(z)
$$

$$
+E _{\Gamma 6}(z)-E
$$

$$
\overline{H(E)} _{15}= \overline{H(E)} _{51}^{\dagger}
$$

$$
= \frac{P(z)^2}{3 i}
\left[\frac { \partial } { \partial z } \left\{
\left(E_{\Gamma 8}(z) + \frac{\hbar^2 \hat{k}_z^2}{2 m} -E\right)^{-1}\right.\right.
$$

$$
\left.\left. -\left(E _{\Gamma 7}(z) + \frac{\hbar^2 \hat{k} _z^2}{2 m}-E\right)^{-1} \right\} \right] k _{-} \;\;\;.
$$

Here, note that the operation of $\partial/\partial z$ inside $\overline{H(E)} _{15}$ and $\overline{H(E)} _{51} $

is only effective to the terms within the brackets $[$ $]$. By the way, the effective mass at the band edge obtained from the bulk $H_{\rm Kane}$ is,

$$
\frac{m}{m^*} = 1+\frac{2 P^2}{3 \hbar^2}
$$

$$
\left{ 2 \left( E _{\Gamma 6} \right. \right.
$$

$$
\left. \left.-E _{\Gamma 8}\right)^{-1}
+\left(E _{\Gamma 6}-E _{\Gamma 7}\right)-1\right}
$$

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file:///C:/Users/taka_/Downloads/%E5%9B%BA%E4%BD%93%E3%81%B6%E3%81%A4%E3%82%8A.pdf
https://note.com/simaneco/n/n764bddbf71ab
https://snip.mathpix.com/
(H(E) 11 H (E) 15
・中1 (2)
√2
=0
\H (E) 51 H (E) 55/
の形を得る. ちなみにH(E) 11=H (E) 55 であるこ
とは容易に示せる. このようにすると, もともと
の8×8の行列を CB↑, ↓ (伝導帯)だけの2×2
の行列に reduction できる. 固有エネルギーEを
最も厳密に得るためには, さらにもう一度 reduc-
tion を行い,
1
11
(H(E) 11-H (E) 15 H (E) , H (E)31) 中(z)=0
を数値的に解けばよい.
ところで, ラシュバ項導出の観点からは,この
最後の reduction は行わず, CB↑ ↓ 伝導帯)に
対する 2×2 の行列のままにしておいたほうが良
い. 話を簡単にするために,k==√3+k3が非
常に小さいと仮定し, k9=0 とすると, H (E) 11,
H (E) 15, H (E) 51, は
k
2m
H (E)11
m = H (E) 15=H (E)51+
m
+1/2P(2) {2(E-Ero(2) 196
2m

(E-E1 (2))'},P(z)
E-Erz(z)
2m
+Er6(z)-E
=
21
What we want to do is to solve the eigenvalue equation for $\hat{H}_{\mathrm{Kane}} \vec{\phi}(z)=E \vec{\phi}(z)$ using the envelope function vector, $\vec{\phi}(z)=\left(\begin{array}{llllllll} \phi_1(z) & \phi_2(z) & \phi_3(z) & \phi_4(z) & \phi_5(z) & \phi_6(z) & \phi_7(z) & \phi_8(z) \end{array}\right)$

ただ
_P(4) [1/{(Env()+税)
Era(z)
3i az
2m
と書ける(ここで, H (E) 15, H (E) 51 の[ ]内に
あるa/azの演算は[ ]内にしか及ばないこと
に注意). ところで, バルクのHkane から求めら
れるバンド端での有効質量は,
=1+ -{2 (Er6-Ers) - 1+ (Ero-Erz) -1}
2P2
32
(6)

(Ery (2) + ²)"}]₁.
(²
2m
と表わされ,これを使った有効質量近似
(H-E) (2)
hd 1 d
2dzm* (z) dz
+1/(2)) (2)
= 0
(ここでのV(z)はE16 (z)で与えられる) の(白。
-E) と H (E)11の差は微々たるものであるので,
H (E) を有効質量近似で置き換える. H (E) 15,
11
H (E) 51 に関しては, 関数
α(z)=
-I
P(z)=1/{(Eme(z) +12-E)
Er8
3 az
2m
(E
Erz(z) +
ただ
2m
E
I
を導入すると、H (E) 15=-ia(z)k_, H (E) 51=
ia(z) k+ と書け, 2×2 のとして
he d 1 d
+P/h (²)
2dzm* (z) dz
ia(z)k+
を得る.
ここでの非対角項を摂動
1=(-ial
―ia (2) k+ 0
として取り扱うならば,
(z)|a(z)(z)>
<(2) (z)>
a≡
<CB
<LH↑
として,
[式 (2)] を与える.
2.2 ディラック方程式との関連
前節で述べたラシュバ項の導出では, いわゆる
スピン軌道相互作用項
eħ
4m262
<CB↑| Ero
<LH↓
CB
ħ² d 1 d
2dzm* (z) dz
がラシュバ項HR
の1次摂動く〉
Hso= (Exp)・・
が明示的に出てこず, Kane のハミルトニアンか
ら得られる「ラシュバ効果」と, 「スピン軌道相
「互作用」との関係があまり明確ではない. これら
の関連を見るには, HKane の対角頃にあるんだ/
2mを無視し, CB↑↓>> LHT, > に関連する行
列要素のみを取り上げたハミルトニアン (Heake)
CB LH↑> LH↓>
ia(z) k_
0
Pk+
√6
0
)
Ero
Pk.
√一覧
・K2P
3
√
ia(z) k_
Pk..
√6
Ere
+V/6 (2)
Pk₂ 0
Pk.
Pk_
√6
√AP
0
Er8
と相対論を包含したディラクのハミルトニア
ン HDirac を比べてみるとよい. HDirac は, kz =
(1/i) (a/az), k=k±i, などとして,
<電子
<電子↓
<電子
chkchk_
<陽電子川 chkchk.
電子電
mc²
H=
Kane
と書かれる41), Hikake と HDirac がほとんど同じ形
をしていることに驚く. さて, ディラックの「ス
ピン軌道相互作用」は, 実は、 HDirac の対角項に
スカラーポテンシャルーed (r) を入れ, 大川・植
村が行ったものと同様の reduction を行うことに
よって得られる。計算の詳細は、読者への演習問
題とし、結論のみを記すと, 電子↑、↓に対して
ハミルトニアン
pich
2m 4m262
0
mc2
c(光速)
電子〉 | 電子↓
chkz chk_
cħk + chkz
mc2
0
-mc2
(E・F) +
2
[注] 厚や店
3
eħ
4m262
(7)
を得る.通常, 「スピン軌道相互作用項」と呼ば
れているものは、この式右辺の第3項である. さ
て, Hkate と HDirae を見比べると、第1表のよう
な関係があることに気付く.
4×4
Kanc
(EX)・・
興味深いのは、HKXには、光速 c が出てこ
ず,一見,非相対論的なハミルトニアンに見える
のに、ここから, ラシュバ項というスピン軌道相
互作用的な効果が出てくるところであろう. な
お,価電子帯として | LH↑, >のみを仮定したこ
とは,暗にスピン軌道分離エネルギーAso (Aso =
Ere-Ex) を無限大にしたことに対応している.
すなわち,この単純化されたモデルから出てくる
ラシュバ項は, 実際のものを過大評価する. ま
た, c(光速)に対応する固体での P/hは,文献に
よると106m/s程度である.
さて, (7)式で与えられる相対論補正を含むハミ
ルトニアンの第1項は, reduction の過程で 2621
第1表 HDirac と H... との関係,
Kane
HDiraç
He
2mc2
EB (バンドギャップ)
1
P
た
[注]
この係数は無視している.
Kane
2m2 を約分して得られるものであり, HDirac から
すると, これ自体が2次の摂動項であると言える。
固体 (Hake) でこれに対応するものは P262/2Egで
あり, 1/m*=2P2/12Egとすることで有効質量近
似が成立する [簡単のため,Hk.neでの√2/3や
1/√6の係数は無視している ( 1 とした)]. 最後
に,「Hkade を使った最も簡単な固体モデルでの
ラシュバ項 (零磁場スピン分離項) は, Hso = (eh/
4m²6²) (Exp).a (3 次の摂動項)に対して, m→m*,
c→P/hの置き換えをし, E = (00Ex) を代入する
ことで得られる」ということが定量的にも大まか
に正しい. InGaAs の場合, m*はmの20分の
1 程度, P/hはcの100分の1程度であるので,
ラシュバ係数αの値を大まかに見積ると, (eh/
4m²2) の100万倍以上となる.
2.3 実験によるラシュバ効果の検証
さて,包絡関数近似で求めた線形ラシュバ項・
HR=a{kyox-ko} [式(2)] に話を戻す.ここで
のa = の計算の詳細は, Engelsら42),
Schaepersら43)の論文が詳しい. ここでは簡単の
ため、上のα (z)の表式中の2/2m を他の項と
比べて無視(m は有効質量ではない電子の質量)
し,Eは伝導帯に形成した量子井戸の閉じ込め
エネルギーであるので, E≈ Er6, {E-Era(z)}~
Eg(z), {E-E_(z)}=Eg(z)+Aso(z)の近似を用
いると,次式を得る.
a(z)=
P(z) 2
3
1
E2 (2)
a
az
1
a
{Eg(z) +Aso (z)}2 az
P(zcEz(z) 1
{E-Ere(z)}
{E-E1 (2) } ]
1
(エ)]
Eg(z) {Eg(z)+Aso (z)}2_
P(z) 「AEr8 {8(z-22) -8(z-z3)}

[Emais
3
Eg(z) 2
AE1{8(z-22) -8(z-23)}
{ Eg(z) + Aso (z)}2
(8)
ここでは, InAlAs/InGaAs/InAlAs ダブルヘテロ
量子井戸を想定しており,22,73, はヘテロ界面
のある場所である (第1図) α (z)の期待値を考
えるとき, 波動関数の大部分は量子井戸内 (くえ
<23) にあるため, (8) 式右辺第1項でのP(z),
Eg(z), Aso (z)は定数 (InGaAs の値) としてよい.
また、「障壁層への波動関数の浸みだしが無視で
きる場合」という条件付きだが、第2項=△Ers/
(Er+AErg) ×第1項という関係が成り立つ44)
(AEro, AEre は T6, T's バンドのヘテロ界面でのバ
ンドオフセット)ので, 非常に良い近似で
1
an
P2 1
[
3 Eg (Eg+ Aso) 2
× 1+
)= 080
AErs
Er6+AEr8/
(9)
が得られる. つまり, (8) 式に表わされるように、
半導体ヘテロ構造で発生するラシュバ効果の起源
は、電荷分布に由来するバンドの曲りに起因した
「電場」と,材料の切り替えによる急峻な「バンド
オフセット」の2つに分けられるが, 実際のラシ
シュババ効果への寄与は,どちらの起源からのものも
に比例する形になるのである [ (9) 式] 別の
視点から (9) 式を見てみることにする. (9) 式で
Aso の値を零とすると αは零となる. このことは,
「ラシュバ効果｣と「スピン軌道相互作用」が直接
的な関係で結びついていることを意味している.
さて,ここで述べているαの値は、材料系ご
とに異なるはずであり,また, 格子歪みの影響も
強く受ける. さらに,同一の材料でもの値
は試料ごとに異なる上に, の直接的な測定
も容易でない. その結果, α値は激しく試料依存
せざるを得ないものと一般には考えられてきた.
また、このことは, ラシュバ項の大きさを材料ご
とに定量的に定めようとする研究の努力を阻む原
因にもなっていた. そういった背景の中, われわ
れは,最近,(001) InP に格子整合した Ino.52Alo.48
As/Ino.53Gao.47As (10nm)/ Ino.53Alo.47As 量子井戸
(第1図) に関して, αx の関係が確かに成り
立っていることを確かめるとともに, a=aso
としたときの比例係数 aso (ディラックの場合の
eh2/14m²2 に相当)を材料固有の物性値として定量
的に (実験的に) 求めることに成功した45). これに
よって, 「ラシュバ効果は本当に存在するか?」
という「そもそも論」に決着をつけることができ
たと言える。具体的に得られた結果を一言でまと
めると, 「量子井戸周辺の構造は同一だが主にド
ーピングの異なる growth run で成長した20程度
のすべての Ino.52Alo.48As/Ino.53Gao,47As (10nm)/
Ino.52Alo.48As 量子井戸試料 (InP 基板に格子整合し
た無歪みの量子井戸)に対して、 (個々の試料に依
存しない) 材料固有の値として asom*/m=(1.46-
1.51 × 10-17Ns[m-2]) eÅ2 が得られた」というこ
とである.この値は、純粋に実験的に求められた
もの (Ino.53Gao.47As の比誘電率を13.1とした以外
は、何のバンドパラメータ値も利用していない)
であるが, 理論予測値[上述の (6) 式の逆数と (9)
式の積から得られる値] をほぼ再現した. ちなみ
に、この値 (aso m*/m) は, 自由電子に対する Dirac
の値(eh2/4m2=3.72 ×10-6eÅ2) の40万倍 (aso
だけだと800万倍)であり, 固体効果がいかに劇的
であるかがわかる. さらに特筆すべきは, asom*
/m の値が, Ns に対する1次の補正までをも含め
て求められた点で, これは, 有効質量が非放物線
補正項までをも含めて求められたことに相当す
る.また,本稿では詳細を述べることができず,
また理論的にも未解決なことなのであるが, これ
らの試料 (InP 基板に格子整合した無歪み系)では,
ドレッセルハウス項は, 実験的には同定できない
ほど小さくなることも,これらの実験で明らかと
なった.
§3 半導体の価電子帯での
磁場スピン分離
Капе
前節で示したHDirae やHkake から明らかになっ
たことは,電子のエネルギーの大部分は,質量
やバンドギャップに相当する部分であり, 運動エ
ネルギーp2/2m (固体では有効質量を使ってp2/
2m*) に相当する部分は, 非対角項に入って
行列要素の2次の摂動として出てくるということ
である.このことは, 微細加工技術によるミクロ
な実験室を用いて量子力学基礎実験を行うことが
醍醐味であるメゾスコピック物理の対象が, 今
後,自然な形で, ディラックのスピン軌道相互作
用へと拡張可能であることを意味する.
さて, 固体中では, ディラックのスピン軌道相
互作用とは似ても似つかぬ形で零磁場スピン分
離効果が発生することも指摘されている. その
一つが冒頭の (4) 式で紹介した3次ラシュバ効
果である. 3次ラシュバ効果は, ゲルマニウムや
GaAs などの半導体ヘテロ系 (量子井戸) の価電
子帯に発生することが固体のk-p モデルとEFA
から導かれ,その先駆的研究は安藤によってな
された17,46) 価電子帯の特徴であるワーピング
構造を無視するという犠牲を払うが, 3次ラシュ
バ効果が等方近似により理論的に見通しのよい
(4) 式のような形に整理されたのは, 1990年以
降, Gerchikov と Subashiev, Winkler によってで
ある 32,33,44)
半導体の価電子帯は, 原子軌道的にはか軌道か
ら派生したもので, ブロッホ関数の格子部分が
HH), ↓, LHT, SO↑, で表わされる 6
つのバンドからなる. ここでは,最も単純に3次
ラシュバ効果の起源を探るために, HH , ↓,
「LH↑ ↓の4バンドからなるラッティンジャー
モデル HL で半導体の価電子帯を取り扱う. 基底の
順番を HH↑>, LH↑>, LH, HH (全角
運動量磁気量子数の表示ではそれぞれ | +3/2>,
| +1/2>, |-1/2>, |-3/2>) にとると, HLは
HH↑
|LH↑> LHHH↓>
<HH↑
<LH↑
<LH↓
l=
2mo
2
2mo
+42×2.
2
x2=
P
L*
M*
諏
L
P+
0
3
M*
M
l 0
<HH↓ 0
のように与えられる.ここで,
2
P= -[2(p1+p2) (k²+k^2)+2(y-2y2) k2],
-L*
0
2
P+- l-L
3
M
1
M* (EHH-ELH+eΦ(z)) - 1L*
P
2
-[(p1-2y2) (k2+k^²)+(p1+4p2)k²],
+M (EHH-ELH+eΦ(z))-1M*
h?
L=-2√3 ys (kx-iky) kzs
2mo
-L* (EHH-ELH+eΦ(z))-1M*
M=√3 -[y2 (k2k2) -2iys kxky]
h2
2mo
である. 係数 21, P2, 23 はラッティンジャー・パラ
メータと呼ばれているものである.
P -ed(z)+L(EHH-ELH+eΦ(z)) - 1L* L(EHH-ELH+eΦ(z))-'M
2
さて, 半導体ヘテロ系の電子状態を正しく予測
するために, HLにEFA をどう適用するべきかに
関する計算上のルールも議論されているが47), そ
のようなやり方が零磁場スピン分離効果 (3次ラ
シュバ効果) までをも定量的に正しく予測できる
かは定かではない. そこで, ここでは, HDirac に
対して (7) 式を導いたときと同様のことをHに
対して行い, (4) 式のようなスピン分離項を得る.
ちなみに, HKane に対してこれを行うと, バルク
結晶に対して定義される, reと呼ばれる定数44)
を導出できる. は, (9)式で [ 1+AErg/ (AEr6

r) ] を1としたときの asoに等しく,その
違いは高々 1.4:1である. つまり, 線形ラシュバ
項の大まかな予測は, バルク結晶に対してスカ
ラーポテンシャル-eΦ (r) を導入する方法で行う
ことが可能であることから,同様の方法で3次ラ
シュバ効果の本質をとらえることも可能であろ
う.
6c6c
741
実際の計算は, 結晶歪みなどの効果により, バ
ルク状態ですでにⅠ点での HH-LH の縮退が解
けている場合にのみ, 簡単に行える. HLの対角
項にスカラーポテンシャル (z) を入れ, (É
EI) Φ=0をHH↑ >> だけに関する有効ハミル
トニアンに reduction する. なぜ LH >> でな
> reduction するかというと, 半導
体2次元正孔系の電気伝導は, LH でなく HH が
担っていることがこれまでの研究でわかっている
からである46). EをHH のバンド端エネルギーに
とり (E=EHH), LH のバンド端のエネルギーを
ELH とすると
-M (EHH-ELH+eΦ(z))-'L
01/2-cD(z)+M* (EHH-ELH+eΦ(z))-'M*
+L*(EHH-ELH+eΦ(z)) - 1L
線形ラシュバ項
k
as
0
ΩR1(k)=|Ωril (-sin0, +cos0 )
kx
eE₂
3次ラシュバ項
kv
を得る. このハミルトニアンの非対角項は,面内
にバンド分散が等方的であるという近似 (y2=y3
≡y'′)を採用すると,
6v6g²
(EHH-ELH)2
ΩR3(k)=|R3|(-sin30,+cos30)
として
0 iash_3`
ÉR
(10)
-iask+3 0
と書け, 3次ラシュバ効果のハミルトニアン [式
(4) ] が得られる.
さて,前節で紹介した線形ラシュバ効果と比
べ, 3次ラシュバ効果の特徴はどこにあるか.そ
の特徴の一つは有効磁場パターンの違いである.
有効磁場パターンは, 3次ラシュバ効果の固有関
数 [すなわち (10) 式の固有ベクトル] が持つスピ
ンの方向から求められる. (10) 式の固有関数は下
記のとおりである.
R3=eik.r(↑>
(11)
0は波数ベクトルが軸となす角である. この
固有関数をもとに計算したーん、面内での有効磁
場のパターンを第3図に示した.
さて,このような3次ラシュバ効果が実際に見
いだされた例として, SrTiO3 表面に形成された
2次元電子系を次節で紹介する. また、最近では,
ゲルマニウム正孔量子井戸でも3次ラシュバ効果
が観察された48) ここでは詳しく述べなかった
が, SrTiO (ペロブスカイト酸化物) もゲルマニ
ウム (ダイヤモンド構造) も, バルク結晶が反転対
称性を有するので,これらのヘテロ界面系は,ド
レッセルハウスのスピン分離効果を完全に無視で
きるという点で, 3次ラシュバ効果を研究する対
第 3 図
線形および3次ラシュバ効果に伴う有
効磁場のパターンの違い。 2つあ
るフェルミ円のうち片方を示している.
象としての重要度が高いと言える.
§4 SrTiO3 表面での
3次ラシュバ効果
最後に, 酸化物 (SrTiO3) 表面で最近観測され
た3次ラシュバ効果を紹介したい49) これは以上
で見たように, もともとダイヤモンド構造 (ある
いは,閃亜鉛鉱型構造)を有する p型半導体のヘ
テロ界面 (|mj=±3/2> のサブバンド状態)で発生
すると予測される3次ラシュバ効果と基本的に同
等であると考えてよい.
まずSrTiO3 のバルク結晶のバンド構造をごく
簡単に述べる. 伝導帯は主に Ti の 3d軌道から派
生しており,そのバンド端はⅠ点にある50) d軌
道は軌道角運動量1=2をもち, スピンを含める
と10個の軌道からなるが, 結晶場との相互作用で
6つのt2g 軌道と4つのeg軌道に分裂する. エネ
ルギーの低いのは前者のt2g 軌道のほうで,この
軌道が主に電子のトランスポートを担っていると
考えられている.
SrTiO の表面/界面での2次元伝導が注目され
始めたのは2000年初頭である. 2004年に Ohtomo
とHwang によって LaAlO3 と SrTiO とのエピタ
キシャル界面が高移動度の伝導特性を有すること
が発見された51) LaAlO3 も SrTiO も絶縁体 (バ
ンドギャップは 5.6 eV と 3.2 eV) であることから
この発見は驚きをもって迎えられ, その後, 界面
磁性52), および界面超伝導 53,54) の報告などをはじ
め, 怒涛の研究ラッシュがおきた. また, SrTiOs
表面の電界効果に関する研究も同時期に始めら