本記事は数学講座3.3 行列の加法と乗法を勉強して投稿したメモです。詳細は元の素晴らしい講座のページをチェックしてください。
同型行列と行列の等式
行数も列数も同じである2つの行列を、$\color{blue}{同型行列}$と呼びます。
もし$A=(a_{ij})$と$B=(b_{ij})$が同型行列であり、それぞれの対応する要素がすべて等しい場合、行列Aと行列Bは等しいと言い、$A=B$に記します。
行列の加法
2つの$m\times n$行列$A=(a_{ij})$と$B=(b_{ij})$がある場合、行列AとBの和は$A+B$と表記され、以下のように定義されます：
A+B=\begin{pmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&...&a_{1n}+b_{1n}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&...&a_{2n}+b_{2n}\\
...&...&&...\\a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}&...&a_{mn}+b_{mn}\end{pmatrix}
行列の加法前提条件：$A=(a_{ij})$と$B=(b_{ij})$が同型行列
\begin{array}{c|c}
\hline
\\
\quad 交換法則\quad&\quad A+B=B+A\quad\\
\quad 結合法則\quad&\quad (A+B)+C=A+(B+C)\quad\\
\\
\hline
\end{array}
行列のスカラー倍
行列のスカラー倍とベクトルのスカラー倍の規則が同じです。
定数$k$と行列$A$のスカラー倍：
kA=Ak=
\begin{pmatrix}
ka_{11}&ka_{12}&\cdots&ka_{1n}\\
ka_{21}&ka_{22}&\cdots&ka_{2n}\\
\cdots&\cdots& &\cdots\\
ka_{m1}&ka_{m2}&\cdots&ka_{mn}\end{pmatrix}
行列のスカラー倍は以下の法則があります。($A,B$が同型行列、$\lambda、\mu$が定数)
\begin{array}{c|c}
\hline
\\
\quad 結合法則\quad&\quad (\lambda\mu) A=\lambda(\mu A)\quad\\
\\
\quad 分配法則\quad&\quad \begin{aligned}(\lambda+\mu) A=\lambda A+\mu A\\\lambda(A+B)=\lambda A+\lambda B\end{aligned}\quad\\
\\
\hline
\end{array}
行列の乗法の合法性
行列$A$と$B$の乗算できる条件が：
- $A$が$m×n$の行列、$B$が$n×p$の行列
- 乗算した結果が$m×p$の行列
以下の例の通り：
行列の乗法の行の視点と列の視点
- 行の視点から
以下のような行ベクトルと行列があります：
\boldsymbol{x}=\begin{pmatrix}x_1&x_2&\cdots&x_m\end{pmatrix},\quad \boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\
a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\
\vdots&\quad&\quad&\vdots\\
a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}
\end{pmatrix}
この形は、行の視点から計算するのがふさわしいです。
\boldsymbol{x}\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}\color{blue}{x_1}&\color{blue}{x_2}&\cdots&\color{blue}{x_m}\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\
a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\
\vdots&\quad&\quad&\vdots\\
a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}
\end{pmatrix}=
\color{blue}{x_1}\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\end{pmatrix}+
\color{blue}{x_2}\begin{pmatrix}a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\end{pmatrix}+\cdots+
\color{blue}{x_m}\begin{pmatrix}a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\end{pmatrix}
- 列の視点から
以下のような行列と列ベクトルがあります：
\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\
a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\
\vdots&\quad&\quad&\vdots\\
a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}
\end{pmatrix},\quad \boldsymbol{x}=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}
この形は、列の視点から計算するのがふさわしいです。
\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\
a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\
\vdots&\quad&\quad&\vdots\\
a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}\color{blue}{x_1}\\\color{blue}{x_2}\\\vdots\\\color{blue}{x_n}\end{pmatrix}=
\color{blue}{x_1}\begin{pmatrix}a_{11}\\a_{21}\\\vdots\\a_{m1}\end{pmatrix}
+\color{blue}{x_2}\begin{pmatrix}a_{12}\\a_{22}\\\vdots\\a_{m2}\end{pmatrix}
+\cdots+
\color{blue}{x_n}\begin{pmatrix}a_{1n}\\a_{2n}\\\vdots\\a_{mn}\end{pmatrix}
行列の乗法の定義（内積の視点）
$A=(a_{ij})$が$m\times s$行列であり、$B=(b_{ij})$が$s\times n$行列である場合、行列AとBの積を$AB$と定義し、以下のようになります：
$AB=C$であり、$C=(c_{ij})$は$m\times n$行列であり、各要素$c_{ij}$は次のように計算されます：
c_{ij}=\boldsymbol{a}_{i*}\cdot\boldsymbol{b}_{*j}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+...+a_{is}b_{sj}=\displaystyle \sum_{k=1}^s a_{ik}b_{kj}
(i=1,\cdots,m;j=1,\cdots,n)
具体的な計算例は以下の通り：
行列の乗法の演算規則
\begin{array}{c|c}
\hline
\\
\quad 交換律\quad&\quad 必ずしも成立しない\quad\\
\quad スカラー倍交換律\quad&\quad \lambda(AB)=(\lambda A)B=A(\lambda B)（\lambdaが定数）\quad\\
\quad 結合律\quad&\quad (AB)C=A(BC)\quad\\
\quad 配分律\quad&\quad A(B+C)=AB+AC\quad\\
\\
\hline
\end{array}
補足
ベクトルと行列の違い
- ベクトルから見れば同じものです。両方とも３次元ベクトルです：
\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2&3\end{pmatrix}
- 行列から見たら$3×1 \color{red}{≠} 1×3$の行列：
\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\color{red}{≠}\begin{pmatrix}1&2&3\end{pmatrix}
参考情報