概要

指数（index number）は、時点間で物価や数量がどれくらい変動したかを1つの数値で表す指標です。複数の品目をまとめて扱う場合、単純平均ではなく 加重平均的な指数 を使います。

代表的な価格指数・量指数の構成法として、

ラスパレイス指数（Laspeyres index）
パーシェ指数（Paasche index）
フィッシャー指数（Fisher index）（ラスパレイスとパーシェの幾何平均）

があり、それぞれに特徴（バイアス、重みの取り方）があります。

基本記号・前提

次の記号を使うことが一般的です：

記号	意味
$p_{0i}$	基準時点 (時点0) における品目 $i$ の価格
$q_{0i}$	基準時点における品目 $i$ の数量（消費量・取引量など）
$p_{ti}$	比較時点 (時点 t) における品目 $i$ の価格
$q_{ti}$	比較時点における品目 $i$ の数量

価格指数（どれだけ価格が変わったか）や数量指数（どれだけ量が変わったか）でこれらの記号を使って定式化します。ここでは主に 価格指数 の形式で説明します。

また、指数は通常 基準時点＝100 として表現されます。

1. ラスパレイス指数（Laspeyres index）

定義・数式

ラスパレイス指数は、基準時点の数量を重みとして使い、価格変動を評価します。
（基準時の数量を比較時の価格で買うとしたら、基準時の何倍のお金が必要なのか？）

$$
P_L = \frac{\sum_{i=1}^n p_{ti} , q_{0i}}{\sum_{i=1}^n p_{0i} , q_{0i}} \times 100
$$

分子：比較時価格 × 基準時数量（＝比較時の価格で基準バスケットを買った場合の支出）
分母：基準時価格 × 基準時数量（＝基準バスケットを基準時に買った場合の支出）

2. パーシェ指数（Paasche index）

定義・数式

パーシェ指数は、比較時点の数量を重みとして使い、価格変動を評価します。
（比較時の数量を基準時の価格で買うとしたら、比較時の何倍のお金が必要なのか？）

$$
P_P = \frac{\sum_{i=1}^n p_{ti} , q_{ti}}{\sum_{i=1}^n p_{0i} , q_{ti}} \times 100
$$

分子：比較時価格 × 比較時数量（＝比較時バスケットを比較時に買った場合の支出）
分母：基準時価格 × 比較時数量（＝比較時バスケットを基準時に買った場合の支出）

3. フィッシャー指数（Fisher index）

定義・数式

フィッシャー指数は、ラスパレイス指数とパーシェ指数の 幾何平均 を取る方式で、「理想指数 (ideal index)」とも呼ばれます。([bellcurve.jp][1])

$$
P_F = \sqrt{P_L \cdot P_P}
$$

つまり、

$$
P_F = \sqrt{ \left( \frac{\sum p_{ti} q_{0i}}{\sum p_{0i} q_{0i}} \right) \cdot \left( \frac{\sum p_{ti} q_{ti}}{\sum p_{0i} q_{ti}} \right) } \times 100
$$

比較まとめとバイアス傾向

指数	重みの基準	傾向／バイアス方向	利点・欠点
ラスパレイス（Laspeyres）	基準時点の数量（固定）	価格上昇を過大評価しやすい（上方バイアス）	データ収集が容易、歴史的に標準
パーシェ（Paasche）	比較時点の数量（可変）	価格上昇を過小評価しやすい（下方バイアス）	消費者行動を反映しやすいが煩雑
フィッシャー（Fisher）	ラスパレイスとパーシェの幾何平均	両バイアスを相殺、中間的	理論的には優れるが実務で使いづらいことも

なお、一般的には次の不等式関係が成り立ちやすいです：

$$
P_P \le P_F \le P_L
$$

（パーシェ指数 ≤ フィッシャー指数 ≤ ラスパレイス指数） ([statssa.gov.za][3])

例題

ある3品目（A, B, C）がある。基準年 (時点0) と比較年 (時点 t) の価格・数量データが次の通り：

品目 $i$	$p_{0i}$	$q_{0i}$	$p_{ti}$	$q_{ti}$
A	100	50	120	60
B	200	20	190	10
C	400	100	500	150

ラスパレイス指数 $P_L$

$$
P_L = \frac{120 \cdot 50 + 190 \cdot 20 + 500 \cdot 100}{100 \cdot 50 + 200 \cdot 20 + 400 \cdot 100} \times 100 = 122.04 \quad (\text{例として BellCurve の例と一致）}:contentReference[oaicite:8]{index=8}
$$

パーシェ指数 $P_P$

$$
P_P = \frac{120 \cdot 60 + 190 \cdot 10 + 500 \cdot 150}{100 \cdot 60 + 200 \cdot 10 + 400 \cdot 150} \times 100 = 123.68 \quad (\text{例として BellCurve の例）}:contentReference[oaicite:9]{index=9}
$$

フィッシャー指数 $P_F$

$$
P_F = \sqrt{122.04 \times 123.68} \approx 122.86
$$

この例では、$P_P < P_F < P_L$ の関係が成り立っています。