概要
確率変数を扱う際には、離散型か連続型かによって確率の表現方法が異なります。
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確率質量関数（Probability Mass Function; PMF）
離散型確率変数に対して、各値が取られる確率を表す関数。
例：サイコロ、コイン投げ、二項分布など。 -
確率密度関数（Probability Density Function; PDF）
連続型確率変数に対して、ある範囲に値が入る確率を面積として表す関数。
例：正規分布、指数分布、t分布など。
数式
確率質量関数（PMF）
離散型確率変数 $X$ の場合：
$$
P(X = x) = p(x)
$$
$$
\quad \sum_x p(x) = 1
$$
確率密度関数（PDF）
連続型確率変数 $X$ の場合：
$$
P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x) , dx
$$
$$
\quad \int_{-\infty}^{\infty} f(x) , dx = 1
$$
数式の説明
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PMF の性質
- すべての確率は 0 以上。
- 全ての値の確率の和が 1 になる。
- 典型的に「数えられる事象」を表現。
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PDF の性質
- 値そのものの確率 $P(X=x)$ は 0。
- 区間に対する積分が確率を与える。
- 曲線下の面積が 1 になる。
具体例
確率質量関数（離散型）
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サイコロ：
$$
P(X = k) = \frac{1}{6}, \quad k = 1,2,3,4,5,6
$$ -
二項分布（コイン投げを n 回繰り返す）：
$$
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}
$$
確率密度関数（連続型）
-
正規分布 $N(\mu, \sigma^2)$：
$$
f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp \left( -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} \right)
$$ -
指数分布（待ち時間など）：
$$
f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, \quad x \geq 0
$$
使用される場面（分布と典型例）
| 分類 | 分布名 | 使用される場面の例 |
|---|---|---|
| 離散型（PMF） | 一様分布 | サイコロやくじ引き（等確率） |
| 二項分布 | コイン投げの成功回数、試行の成功/失敗 | |
| 多項分布 | カテゴリ分け（例：サイコロの出目の回数分布） | |
| ポアソン分布 | 一定時間内の事故件数、問い合わせ件数 | |
| 幾何分布 | 初めて成功するまでの試行回数 | |
| 超幾何分布 | カードゲームや抽選（母集団から無作為抽出） | |
| 連続型（PDF） | 連続一様分布 | 区間内で等確率に発生する現象（例：乱数生成） |
| 正規分布 | 身長・テストの点数・測定誤差 | |
| 指数分布 | 機械の故障までの時間、待ち時間 | |
| t分布 | 母分散未知の平均推定、信頼区間 | |
| F分布 | 分散分析（ANOVA）、分散比の検定 | |
| カイ二乗分布 | 適合度検定、独立性の検定 |
関連する数式
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期待値（離散型）
$$
E[X] = \sum_x x , p(x)
$$ -
期待値（連続型）
$$
E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) , dx
$$ -
分散
$$
\mathrm{Var}(X) = E\big[(X - E[X])^2\big]
$$