概要

確率変数を扱う際には、離散型か連続型かによって確率の表現方法が異なります。

確率質量関数（Probability Mass Function; PMF）
離散型確率変数に対して、各値が取られる確率を表す関数。
例：サイコロ、コイン投げ、二項分布など。
確率密度関数（Probability Density Function; PDF）
連続型確率変数に対して、ある範囲に値が入る確率を面積として表す関数。
例：正規分布、指数分布、t分布など。

数式

離散型確率変数 $X$ の場合：

$$
P(X = x) = p(x)
$$
$$
\quad \sum_x p(x) = 1
$$

連続型確率変数 $X$ の場合：

$$
P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x) , dx
$$
$$
\quad \int_{-\infty}^{\infty} f(x) , dx = 1
$$

正規分布 $N(\mu, \sigma^2)$：

$$
f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp \left( -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} \right)
$$
指数分布（待ち時間など）：

$$
f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, \quad x \geq 0
$$