【3分でざっくり理解】「対応のあるt検定」をわかりやすく解説

Last updated at 2024-09-04Posted at 2024-09-04

■対応のあるt検定とは？

対応のあるt検定は、同じ対象について複数回の測定を実施し、その母平均の差がゼロであるかどうかを検定する統計手法です。今回は、初心者の方向けに、基本から実際の使い方までわかりやすく解説します。

■対応のあるt検定が使われる場面

対応のあるt検定では、同じ対象について、ある条件（実験、治療等）のもとで複数回の測定を行い、得られたデータをもとに分析します。具体的には、以下のような場面をイメージしてみてください。

血圧を下げる新薬の投薬前後において、被験者の血圧を比較する場合
ビールのテイスティングで、同じグループが2種類のビールを飲み比べる場合

■対応のあるt検定のステップ

では実際に例題を使って考えてみましょう（今回は、測定値の差が正規分布に従うと仮定します）。

【例題】
あるクリニックで、患者グループの体温を2種類の体温計（口と耳）で計測しました。その測定値の母平均に差があるかどうかを調べてみます。

患者	口部の体温（℃）	鼓膜の体温（℃）	差分（℃）
誠	36.1	36.0	-0.1
智子	36.7	36.9	0.2
大輔	38.1	38.3	0.2
裕子	36.8	37.0	0.2
直樹	36.5	36.7	0.2
真由美	37.8	38.5	0.7
剛	36.9	37.0	0.1
香織	36.8	36.9	0.1
淳	36.6	36.8	0.2
裕美	37.3	37.4	0.1
大介	38.1	38.1	0
幸子	36.6	36.7	0.1
竜也	37.1	37.3	0.2
恵	36.9	36.8	-0.1
学	36.8	37.1	0.3
優子	36.1	36.2	0.1
崇史	36.8	36.9	0.1
恵子	36.7	37.3	0.6
肇	36.6	36.8	0.2
桃子	36.9	36.9	0

上の表の体温や差分を見ただけでは、測定された体温の母平均に差があるかどうかの判断は人によって異なりそうです。そこで統計的検定を使うことで、客観的基準によって判断を可能にします。

1. 仮説を立てる

帰無仮説（H0）: 口と耳でそれぞれ測定された体温の母平均に「差がない（ゼロである）」
対立仮説（H1）: 2つの集団の母平均値に「差がある」

2. 検定統計量を計算する

まず、検定統計量（t）は以下の式で算出できます（以下の数式は長いので左右にスクロールしてください）。

\begin{flalign}
  &
検定統計量（t）=\displaylines{

\frac{差分データの標本平均}{標準誤差}=

\frac{\bar{d}}{S_d/\sqrt{n} }
}
&
\end{flalign}

\begin{flalign}
  &
差の平均値:\bar{d}=\displaylines{

\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} d_i
}
&
\end{flalign}

\begin{flalign}
  &
差の標準偏差:S_d=\displaylines{

\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n} (d_i-\bar{d})^2}
}
&
\end{flalign}

上の数式で、 n＝標本数（今回は20）。

\begin{flalign}
  &
\bar{d}=\displaylines{

\frac{1}{20}(-0.1+0.2+0.2+0.2+0.2+0.7+0.1+0.1+0.2+0.1+0+0.1+0.2+-0.1+0.3+0.1+0.1+0.6+0.2+0)=

\frac{3.4}{20}=0.17
}
&
\end{flalign}

\begin{flalign}
  &
S_d=\displaylines{

\sqrt{\frac{1}{20-1} \bigl((-0.1-0.17)^2+(0.2-0.17)^2+(0.2-0.17)^2+(0.2-0.17)^2+(0.2-0.17)^2+(0.7-0.17)^2+(0.1-0.17)^2+(0.1-0.17)^2+(0.2-0.17)^2+(0.1-0.17)^2+(0-0.17)^2+(0.1-0.17)^2+(0.2-0.17)^2+(-0.1-0.17)^2+(0.3-0.17)^2+(0.1-0.17)^2+(0.1-0.17)^2+(0.6-0.17)^2+(0.2-0.17)^2+(0-0.17)^2\bigr)}=0.195
}
&
\end{flalign}

\begin{flalign}
  &
検定統計量（t）=\displaylines{

\frac{差分データの標本平均}{標準誤差}=

\frac{\bar{d}}{S_d/\sqrt{n} }
=

\frac{0.17}{0.195/\sqrt{20} }=3.899

}
&
\end{flalign}

と検定統計量が算出できました。