全部を紹介するのは大変なので、とりあえず自分が使いそうなものだけ挙げています。
より詳しくはドキュメントをご参照ください。

使う時は

\usepackage{physics}

をします。

Automatic bracing

カッコのサイズは自動調整されます。

メジャーなカッコ

\qty()

\qty( \int_0^1 x^2 dx )

$$
\left(\int_0^1 x^2 dx\right)
$$

\qty{}

\qty{ \int_0^1 x^2 dx }

$$
\left\{ \int_0^1 x^2 dx \right\}
$$

\qty[]

\qty[ \int_0^1 x^2 dx ]

$$
\left[ \int_0^1 x^2 dx \right]
$$

\qty|| または \abs{}

\abs{ \int_0^1 x^2 dx }

$$
\left| \int_0^1 x^2 dx \right|
$$

\norm{}

\norm{ \int_0^1 x^2 dx }

$$
\left\| \int_0^1 x^2 dx \right\|
$$

オーダー記法

\order{}

\order{ x^2 }

$$
\mathcal{O}(x^2)
$$

Vector notation

ベクトル関係の記法です。

\vb{} "vector bold" の略です
\va{} "vector arrow" の略です
\vu{} "vector unit" の略です

\vb{ v }

$$
\boldsymbol{ v }
$$

\va{ v }

$$
\boldsymbol{ \overrightarrow{v} }
$$

\vu{ v }

$$
\boldsymbol{ \hat{v} }
$$

\vdot
\cross

\va{a} \vdot \va{b}

$$
\boldsymbol{ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} }
$$

\va{a} \cross \va{b}

$$
\boldsymbol{ \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} }
$$

\grad
\div
\curl
\laplacian

\grad{ \Psi }

$$
\boldsymbol{\nabla \Psi}
$$

\div{ \va{a} }

$$
\boldsymbol{\nabla \cdot \overrightarrow{a}}
$$

\curl{ \va{a} }

$$
\boldsymbol{\nabla \times \overrightarrow{a}}
$$

\laplacian{ \Psi }

$$
\nabla^2 \Psi
$$

Operators

いくつかの演算子が追加されています。

トレース: \tr　e.g. \tr A
階数: \rank　e.g. \rank A
留数: \Res　e.g. \Res[f(z)]
実部: \Re{}　e.g. \Re{z}
虚部: \Im{}　e.g. \Im{z}

Quick quad text

数式内において、両端に空白（\quad）を入れつつテキストを挿入したい場合に、\qq{} が便利です。

e^{\pi i} = -1 \qq{オイラー} e^{\pi i} + 1 = 0

$$
e^{\pi i} = -1 \quad \mbox{オイラー} \quad e^{\pi i} + 1 = 0
$$

Derivatives

微分関係の記法です。

\dd

\dd{x}

$$
\mathrm{d} x
$$

\dd[3]{x}

$$
\mathrm{d}^3 x
$$

\dv

\dv{x}

$$
\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}
$$

\dv{f}{x}

$$
\dfrac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x}
$$

\dv[n]{f}{x}

$$
\dfrac{\mathrm{d}^n f}{\mathrm{d} x^n}
$$

\pdv

\pdv{x}

$$
\dfrac{\partial}{\partial x}
$$

\pdv{f}{x}

$$
\dfrac{\partial f}{\partial x}
$$

\pdv[n]{f}{x}

$$
\dfrac{\partial^n f}{\partial x^n}
$$

\pdv{f}{x}{y}

$$
\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}
$$

Matrix macros

行列関係の記法です。

\mqty()

\mqty(a & b \\ c & d)

$$
\begin{pmatrix}
a & b \
c & d
\end{pmatrix}
$$

\mqty|| または \mdet{}

\mdet{a & b \\ c & d}

$$
\begin{vmatrix}
a & b \
c & d
\end{vmatrix}
$$

\imat{n} "identity matrix" の略です

\mqty( \imat{3} )

$$
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \
0 & 1 & 0 \
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
$$

\dmat{a, b, c, ...} "diagonal matrix" の略です

\mqty( \dmat{1, 2, 3} )

$$
\begin{pmatrix}
1 & & \
& 2 & \
& & 3
\end{pmatrix}
$$

\mqty( \dmat[0]{1, 2, 3} )

$$
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \
0 & 2 & 0 \
0 & 0 & 3
\end{pmatrix}
$$


\mqty( \dmat{1, 2&3\\4&5} )

$$
\begin{pmatrix}
1 & & \
& 2 & 3 \
& 4 & 5
\end{pmatrix}
$$

\admat{a, b, c, ...} "anti-diagonal matrix" の略です

\mqty( \admat{1, 2, 3} )

$$
\begin{pmatrix}
& & 1 \
& 2 & \
3 & &
\end{pmatrix}
$$

\xmat{x}{n}{m}

\mqty( \xmat{1}{2}{3} )

$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \
1 & 1 & 1
\end{pmatrix}
$$

\mqty( \xmat*{a}{2}{3} )

$$
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \
a_{21} & a_{22} & a_{23}
\end{pmatrix}
$$