【プログラマーのための数学】余弦定理

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余弦定理とは

余弦定理を使うと、2辺の長さと、その間の角度がわかれば、もう1辺の長さを出すことができます。

三角形の合同条件・決定条件

三角形というのは、3つの条件がそろえば、三角形の形が決定するようになっています。
下記のいずれかの条件がそろえば、三角形の残りの情報を導き出すことができます。

1. 3辺の長さ a,b,c が与えられた場合
2. 二辺の長さ b,c とその間の角 A が与えられた場合
3. 一辺の長さ a とその両端の角 B,C が与えられた場合

余弦定理とは、三角形のこの性質を表した定理です。

参考：三角形の決定条件と自由度

三平方の定理のおさらい

余弦定理を理解するためには、三平方の定理を理解している必要があるので、まずおさらいをします。
三平方の定理についてはコチラを参照

出典：http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/cos_rule.htm

上図のような直角三角形があるとき、三平方の定理によって下記が成り立ちます。
a^2 = b^2 + c^2

では、直角三角形以外の場合は、どうでしょうか？

∠Aが90度より小さい場合

出典：http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/cos_rule.htm

a辺の長さは、直角三角形だったときよりも短くなるはずです。
つまり、
a^2 = b^2 + c^2 - x
ということになります。

∠Aが90度より大きい場合

出典：http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/cos_rule.htm

a辺の長さは、直角三角形だったときよりも長くなるはずです。
つまり、
a^2 = b^2 + c^2 + x
ということになります。

余弦定理を覚えると、このxの部分の式がわかり、直角三角形以外でも、aの長さを求めることができるようになります。

余弦定理

では、本題の余弦定理です。

出典：http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/cos_rule.htm

上図のような三角形があるとき、余弦定理によって、下記の式が成り立ちます。
b,cの長さと、Aの角度がわかれば、aの長さを求めることができます。
他の辺に関しても、2辺の長さとその間の角度がわかれば、もう1辺の長さが導き出せます。

余弦定理

a^2　=　b^2　+　c^2　−　2bc・cos∠A
b^2 = c^2 + a^2 − 2ca・cos∠B 
c^2 = a^2 + b^2 − 2ab・cos∠C

下記は、角度を求める場合の方程式。上記の式を変形させたもの。

cos∠A = b^2 + c^2 - a^2 / 2bc
cos∠B = a^2 + c^2 - b^2 / 2ac
cos∠C = b^2 + a^2 - c^2 / 2ac

余弦定理の証明

なぜ、余弦定理が成り立つのか、三角関数、三平方の定理を利用して証明します。

出典：http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/cos_rule.htm

証明の仕方

上記の図のように、CからHへABと90°に交わる直線を引く。
こうすると、CAHとCHBの2つの直角三角形ができる。
このとき、CHの長さは、三角関数のsinAの方程式で出せる。
AHの長さも、三角関数のcosAを使って求められる。
HBの長さは、c - AHで求められる。

# CHの長さを出す
sinA = CH / b
CH = b x sinA

# AHの長さを出す
cosA = AH / b
AH = b x cosA

# HBの長さを出す
HB = c- AH

これで、右側の直角三角形の2辺である、CHとHBの長さがわかったので、aの長さは、三平方の定理を用いて出すことができる。

a^2 = CH^2 + HB^2
    = b・sin^2A + (c - b・cosA)^2
    = b^2・sin^2A + (c - b・cosA)・(c - b ・ cosA)
    = b^2・sin^2A + (c^2 - c・b・cosA - c・b・cosA + b^2・cos^2A)
    = b^2・sin^2A + c^2 - 2cb・cosA + b^2・cos^2A
    = b^2・(sin^2A + cos^2A) + c^2 − 2bccosA

∴ a^2　=　b^2　+　c^2　−　2bc・cosA

∴とは「結論」を意味する数学の記号。

例題

b,cの長さ Aの角度がわかっているとき、aの長さは、下記の方法で導き出せます。
b=5, c=3 , ∠A=60°

cos60°の値は1/2になります。
これは三角比といって、決まった値です。
三角比についてはコチラを参照

a^2　=　b^2　+　c^2　−　2bc・cosA
a^2 = 5^2 + 3^2 - 2・5・3・cos60°
a^2 = 49

以上

[参考]
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/cos_rule.htm

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