@AKKYMposted at 2021-07-05

a^b+b^aが素数になるような自然数a, bを全て求めたい。

Q&A

a, bが素数のとき(2, 3)のみであることを示すのが、2016年の京都大学の入試問題だったらしい。

a, bが自然数のときどうなるのかが知りたいです。

↓パソコン回して見つけた

(2,　3)
(2,　9)
(2,　15)
(2,　21)
(2,　33)

a = 2以外の例は僕が探した限り見つからなかったです。

↓使ったコード

import Data.Numbers.Primes
filter (\(a, b) -> isPrime (a^b+b^a))  [(a, b) | a <- [2..20], b <- [a+1..20]]

1Answer

1も自然数なので、素数をpとした時、a=1, b=p-1 とすれば

\begin{align}
a^b + b^a &= 1^{(p-1)} + (p-1)^1 \\
&= 1+(p-1) \\
&= p
\end{align}

となって無限に存在しますよね。

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