Quantum Chemistry - Postulates of Quantum Mechanics 5: Schrodinger Equation

関連 http://qiita.com/7of9/items/d3a1799928734375f34f

CG分野で使われるSpherical Harmonics。自分の数値シミュレーション計算に用いたいと思い調べると、量子化学の講義にたどり着く。

短く分かりやすそうな159本のビデオを少しずつ消化中。

Quantum Chemistry - Postulates of Quantum Mechanics 5: Schrodinger Equation
https://www.youtube.com/watch?v=XjIBIc-Ldok&index=28&list=PLm8ZSArAXicL3jKr_0nHHs5TwfhdkMFhh

• 量子力学での5つ目のPostulates
• Postulates とは何か?
  • このビデオから
    • trueとして証明されていない
    • trueとして考えられている(given)
    • predictionの妥当性を見てチェックされる
• 白文字
  • wavefunctionは時間依存するSchrodinger Equationにそって時間進化(変化)する
  • Schrodinger Equation
    • http://qiita.com/7of9/items/e1d711685ac92f729fc9
• 緑の式
  • T.D.S.E
    • Time dependent Schrodinger Equationの略
  • 左側
    • 位置r(ベクトル表記;矢印)と時間tの関数プサイに
    • Hハット (ハミルトンオペレータ)が作用している
  • 右側
    • プサイの時間微分に
    • iヘイチバーがかかっている
      • ヘイチバー: h / (2 pi)
• 紫の式
  • 緑の式を解く特に「変数分離法」を使う
  • プサイの関数を以下の関数に分離する
    • 位置rだけの関数
    • 時間tだけの関数
• 黄色の式
  • 緑の式に紫の式を代入した
• 水色の式、白の文字
  • 黄色の式から変形し、tに関するものとrに関するものを並び替えた
    • ハミルトンオペレータはtime independentなので位置rと一緒に扱う
• オレンジの式
  • 左側に「位置r」に関する項を
  • 右側に「時間t」に関する項を整理した
  • あらゆる位置r, あらゆる時間t でこの式が成り立つには、式の値が定数Eとなること
• 緑の式
  • オレンジの式の一番左と、定数Eの等式から変形
  • これがTime independent Schrodinger Equation
    • 時間tが入っていない
• 紫の式
  • オレンジの式の真ん中と、定数Eの等式から変形
• ピンクの式
  • dファイ(t)での積分を左に
  • dtでの積分を右に整理
• 黄色の式
  • (1/y)の積分はlognormal(y)となる ( http://mathtrain.jp/integral_matome の2つ目の公式)ので
  • (1/ファイ(t))の積分はlognormal(ファイ(t))となる
  • 右側は定数の積分なので時間t がかかるだけ
• 水色の式
  • 黄色の式から導出
  • lognormal(A) = Bから A = exp(B) となる
    • A=exp(B)の両辺のlognormalを取れば確認できる
  • 水色の式で面白いのは
    • ファイ(t) = exp(-iEt / ヘイチバー)
    • ファイ(t)の複素共役ファイ*(t) = exp(+iEt / ヘイチバー)
    • ファイ*(t) と ファイ(t)の積は exp(-定数) * exp(+定数) = exp(-定数+定数) = exp(0) = 1
    • つまり、「ファイ(t)とその複素共役の積は1となる」
• オレンジの式
  • ファイ(r,t)の式を変数分離して求めた結果で書いた
    • 位置rに関する関数はファイ(r)
    • 時間tに関する関数は水色の式から