配列の要素をランダムに表示したいのです。

の部分において一度しか`randomNum`が更新されていないため、その後の`forEach`のループでも常に同じ値しか使えません。

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配列の要素をランダムに並び替えるという意図でよろしいでしょうか？
それでしたら以下のようなコードが書けます。

```js
let numbers = ["1","2","3"];
let shuffled = numbers.concat(); // コピー
let html = "";

// 配列全体(`0` から `shuffled.length - 1`)から、
// 終端を順番に先頭側にずらして、狭めていくイメージ
for(let i = shuffled.length - 1; i > 0; i--){
	const randomIndex = Math.floor(Math.random() * (i + 1));

	// ここから　終端の要素と、ランダムに選んだ要素を入れ替える処理
	const tmp = shuffled[i];
	shuffled[i] = shuffled[randomIndex];
	shuffled[randomIndex] = tmp;	
}

shuffled.forEach(function( number ) {
     html += '<li>' + number + '</li>';
});

document.querySelector('ul').innerHTML = html;

let numbers = ["1","2","3"];
let shuffled = numbers.concat();

for(let i = shuffled.length - 1; i > 0; i--){
	const randomIndex = Math.floor(Math.random() * (i + 1));

	// 分割代入（Destructuring assignment）を利用
	[shuffled[i], shuffled[randomIndex]] = [shuffled[randomIndex], shuffled[i]];
}

// `Array#map`、アロー関数（Arrow Function)、テンプレートリテラル、`Array#join`を利用
let html = shuffled.map(number => `<li>${number}</li>`).join("");

document.querySelector('ul').innerHTML = html;

// ここから　終端の要素と、ランダムに選んだ要素を入れ替える処理
const tmp = shuffled[i]; // 1.
shuffled[i] = shuffled[randomIndex]; // 2.
shuffled[randomIndex] = tmp; // 3.