米田の補題は、圏論でもっとも重要な定理です（繰り返し）
圏論は、数学の基礎理論です。いままで、万物の理論
といわれていましたが、数理科学 11月号では、なんと 万物・万事・万人のための数学理論とまでいわれるようになりました
このAdventCalendar は、体験的に圏論の最も重要な定理である米田の補題を体験的に理解してもらうためにかいています
参考にしているのは、圏論の道案内です
射の合成
４つある圏の定義の２番目です。
射f の余域[B]と 射g の域[B]がおなじだとfとg は一意に合成できます。
同じと一意に注意です。対象と射と同様に単純ではありません
対象は、内部構造をもっていないと思うのが暗黙の前提になってしまいがちです。でも、内部構造の違いがあるものでも、射fの余域と射gの域では、同じものとみなすことがありえます。また、射fと射gの合成が一意になるのはなかなか強い条件です。fの域Aからgの余域Cへの射は、複数あってもいいからです。そのどれが gとf の合成 g∘f かを導き出す必要があります。（なお、慣例上 f -> g は、ひっくり返して、g∘f と書きます。記法は様々で結構面倒です）
不確実を確実にする過程がここでも見え隠れします。量子コンピュータ的発想は意外とあちこちに顔をだします。
では、米田の補題川柳です
米田の補題川柳 次と前つながれば直いけるはず
合成が一意なことを無視すれば、応用はすぐ思いつきます。
東京 -> 静岡 -> 名古屋
は、東京 -> 名古屋 と直接いけます。
２箇所の穴あけ加工なら、バラバラでなく一括で、２箇所あけるとかです。
数学的に扱いたいなら、一意性を確保するため、工夫が必要です。だから、川柳には、いけるはずと書いています。そのまま一意にならないのが正常です。
場所の移動の場合は、移動でなくて距離とかんがえると、経路が同じ距離の計算なので、一意になります。では、部品加工の場合はどうでしょうか？