米田の補題は、圏論でもっとも重要な定理です（繰り返し）
圏論は、数学の基礎理論です。いままで、万物の理論
といわれていましたが、数理科学 11月号では、なんと 万物・万事・万人のための数学理論とまでいわれるようになりました
このAdventCalendar は、体験的に圏論の最も重要な定理である米田の補題を体験的に理解してもらうためにかいています
参考にしているのは、圏論の道案内です
代数構造（モノイド、群）
いきなり数学的になります。いままで、圏のイメージを自然数の集合+加法にまかせてきました。まず、前提知識として、集合とはなにかです。集合はなんらかの要素（定義難しいです）からなり、どの要素も個性をもっていて、同じ要素かどうかが識別できます。そして、ある集合の要素（元とよびましょう）は、その集合に属するかどうかが判定できます。これが集合の定義ですね
自然数だけなら単なる集合ですが、ここに加法という演算をつけくわえると、代数構造をもちます。演算は、集合Mから、２つの順序ある対(A,B)を選びそれをなんらかの値Xをわりあてます。それで、演算の視点から、代数構造をみてみましょう。演算は∘で表現します。条件も A∘B = X ∈ M が基本です。だんだんと条件をきつくしていきます。
- マグマ (a,b)の結果x は、集合Mに含まれる 射でいう合成ですね。
- 半群 演算は結合則を満たしている (A∘B)∘C = A∘(B∘C)
- モノイド くわえて単位元Eがあります。A∘E = E∘A =A
- 群 逆元A(-1)がどの元に対しても存在する A(-1)∘A = A∘A(-1) = E
- (以下略）
モノイドは日本語で単系といいます。自然数 + 加法は モノイド 単系です。モノイドの中身は、圏の定義を満たしていますが、それでは射が対象間に一つしかありません。ここでは説明しませんが射は数学的に複数あったほうがいいので対象をモノイドそのものとして、一つにしてしまいます。同じ図ですがこんなかんじです
モノイドは、対象ひとつの素朴な代数構造で圏論で好んで使われています。逆元導入して、群にしたり、いろいろ条件をつけていきます。マグマや半群も対象にすることは可能ですが、あまりに素朴で数学的には面白くないのです。よくわからないけど、そうなんだとここまでのところは鵜呑みにしてください。この図を記憶にとどめておいてもらうと鵜呑みしやすくなるでしょう。
米田の補題川柳 図式ならモノイドすぐにおぼえるぞ
文章ではなかなか暗記できないのですが、図式だとすぐに暗記できますね。私達が矢印をつかうのは図式だと直感的に理解でき、すぐに暗記できるからです。でもよく使うのは単純な A -> B ばかりです。少し複雑な矢印を使うと時代になってもいいのではないでしょうか？