米田の補題は、圏論でもっとも重要な定理です（繰り返し）
圏論は、数学の基礎理論です。いままで、万物の理論
といわれていましたが、数理科学 11月号では、なんと 万物・万事・万人のための数学理論とまでいわれるようになりました
このAdventCalendar は、体験的に圏論の最も重要な定理である米田の補題を体験的に理解してもらうためにかいています
参考にしているのは、圏論の道案内です
モノイド準同型
圏のところで、モノイドがでてきました。圏においてモノイドは対象ひとつであることが強調されます。モノイドは代数構造で、内部は、圏の定義を満たしているようなものです。モノイド同士の関係は、圏と圏との関係とよくにていて、関手が容易に導入できます。
数学的にはモノイド準同型ばかり扱うので、素朴な圏と圏の間の関手が具体的な考察対象になることは少ないでしょう。でも、このAdventCalendar は、米田の補題をプロジェクトマネジメントに応用することを目的としています。数学的な世界から借りる発想はごく簡単ものにとどめます。
準同型は、いいことあるのでしょうか？ 数学的になるとなにそれおいしいというがピンとこないですね。
そこで、ものすごく単純な対象が３つの自然数[0,1,2]で考察しましょう。加法を、足して３で割ったあまり（mod 3)にすれば、モノイドでもあり、圏でもあると言い張れるでしょう。これと対応する圏は、[5.1,6.2,10.01]とします。関手の条件は、最初からみたしているかは、不明（気にしないで）で議論をすすめます。
さて、対象の対応は、0->5.1、1->6.2、2->10.01 とします。これは、全単射の事例なので、かなり厳しい条件になっていますが、気にしません。自然数の場合は、１の次は自明です。一方、[5.1,6.2,10.01]の場合は、6.2の次は自明とはいえません。対応づけると6.2 の次は、10.01が自明になります。実際の作業はソートです。自然数でない数の集合も、ソートすると自然数と同じ構造になります。自然数は、加法について、可換でもあり、非常に強い条件設定になっています。1 + 2 は、2 + 1 と同じです。自然数は、単なるモナイドではなく可換モナイドです。可換モナイドは、数、数量、ベクトル（座標）など、数的な対象を扱うのに適したものです。なんとなく、そうだなあと思えるでしょうか？ そういった可換モナイド間の関手は、ある可換モナイドの構造を他の可換モナイドに見出して、便利です。イベントの受付で、ネームタグを名前を読みの順番で並べるのはよく行われています。自然数を対象とする関手は並べ替えそのものともいえます。関手的な発想がなんかやくにたちそうな気がしませんか？
米田の補題川柳 数えればすごく便利だ当たり前
数学的には、可換モナイドは非常に便利ですが、企画進行には、単純で使いやすいものがいいです。可換はなくてよいですし、対象の数は、４までがいまのところよいと思っています。五次方程式がとけないので、なんとなく納得しています。対象の圏の内部構造は、自然数との対応にします。但し、自然の構造が関手経由でほとんど、うつらくてもよいとします。ただ、連番ふるだけです。つまり、圏は[0][0,1],[0,1,2],[0,1,2,3] いずれかと準同型で考えます。企画進行で一度に考察するのは、対象４つが限界です。実際、会議で説明がよく行われますが、対象１の事例です。いろんな説明（内部構造を持つ射）があるので、説明と説明の間に関手を導入して簡素化する必要はよくあります。それが、難しいと言われるモナドです。モノイドの自己関手です。
企画進行は、大風呂敷を広げておいて、対象や対象間の射を関手を経由して減らしていく過程とも考えられます。大風呂敷を広げて最初に企画対象の課題を網羅的にリストアップする前提ではありますが