米田の補題は、圏論でもっとも重要な定理です（繰り返し）
圏論は、数学の基礎理論です。いままで、万物の理論
といわれていましたが、数理科学 11月号では、なんと 万物・万事・万人のための数学理論とまでいわれるようになりました
このAdventCalendar は、体験的に圏論の最も重要な定理である米田の補題を体験的に理解してもらうためにかいています
参考にしているのは、圏論の道案内です
米田の補題の理解の前提は、圏、関手、自然変換です。どれも数学的に正面から理解しようとすると絶望的です。
東大理学部情報学科の4年生の学力が必要です。他の大学の情報学科でも、圏論は必須でないので言葉そのものを知らない人が多いです。
でも大丈夫 米田の補題川柳を使います。すでに米田の補題は、「関係は内容よりも重要だ」で、数学的前提まったくなしにいきなり提示しています
さすが、これだけでは、あまりなので、米田の補題川柳を使って、まずは
圏論とは、そして歴史、圏の定義、例、関手の、例、自然変換の定義、例 随所に補足 そして米田の補題をほんの少し、数学的も説明します。
圏論とは 矢印で考えること
単純で理解しやすい事例をいくつか列挙します
文は違うけど、対象ふたつ、矢印ひとつは同じ
- A → B
- 出発点 → 到達点
- 原因 → 結果
- 東京 → 大阪
- 犬 → 哺乳類
- 私 → 相手
矢印を使ってなにかを説明することはよくありますよね。
これを#米田の補題川柳にしてみましょう
米田の補題川柳
矢印で考えるのはよくあるさ
connpass のイベントではこんな文章使っています
「圏論は数学の基礎理論で、集合論に替わるものです。20世紀中ごろに登場し、有名な数学者グロタンディークが数学に幅広く適用し、多大な成果をあげたので有名です。ちなみに、彼の有名な論文の一つに東北大学で出版されたものがあり、Tohoku paper と呼ばれています。 圏論の最強の成果は、米田の補題です。米田の補題の理解を目指しましょう。」
歴史
ポアンカレ -> アレインベルグ、マックレーン（創始者）-> グロタンディーク なのですが、ポアンカレとグロタンディークのみ取り上げます
圏論のご先祖様 ポアンカレ 曰く
数学とは違うものを同じものとみなす技術である
これも#米田の補題川柳にします
米田の補題川柳
違うもの同じとみなすすごいこと
圏論で数学を書き換えた天才 グロタンディーク 曰く
対象、射(やじるし)なんでも良い
圏論は、対象と射(やじるし)で構成されるのですが、それがどんなものであるかの想定はまったくありません。これは、圏論をものすごく難しくしている理由の一つです。ただ、逆にそのことで、米田の補題までたどりつくと見通しがよくなります。「関係が内容よりも重要だ」というのは、当たり前だと誰もが普通思うのではないでしょうか？ わざわざ、数学的に厳密な過程を辿って理解する必要もない気がします。
米田の補題川柳
なんでもと思えるならばすごいこと
|ここまでの圏論の話は、美味しいか？ 美味しいです
そもそも、普段から無意識に使っています
会議でこんな会話していませんか？
課題が解決できればなんでもよいのだから、〇〇は違う方法だけどで同じように解決できるのでは