概要
"トグル・スイッチ力学系に関する線形安定性解析" という勉強ノートを作成しました．ノートは 本記事の最後 に置いてあります．
収録内容
- トグル・スイッチ力学系とは？
- 固定点 (平衡点) の計算
- 時間領域および周波数領域での線形安定性解析
- 作図に用いたpythonプログラム
はじめに
- トグル・スイッチ (toggle switch) 力学系は双安定性を有する力学系です
- この力学系は例えば，生物学分野の遺伝子発現モデルの一例として知られています
- 具体的には，遺伝子１と２が互いの発現を抑制する場合であり，遺伝子１が発現する (オン) と，遺伝子２が発現しにくくなる (オフ) ような機構のモデルとして使用されます
- ちょうどトグル・スイッチ (レバーでオン・オフを制御する装置) に似ていることが名前の由来らしいです
ノートのまとめ
■ 考える式系
\begin{align}
\frac{dp_{1}}{dt}&=\frac{\alpha}{1+p_{2}^{2}}-p_{1} \\
\frac{dp_{2}}{dt}&=\frac{\alpha}{1+p_{1}^{2}}-p_{2}
\end{align}
ここで，$p_{1}, p_{2}$は遺伝子1と2に含まれるたんぱく質の濃度 (発現量)，$\alpha$は生成量に関するパラメータです．各式の右辺第一項は生成，第二項は分解を表します．生成に関する項は，相手の濃度が高い場合に小さくなるため，互いの発現を抑制する作用を持ちます．
■ 平衡点周りの安定性
上式の平衡点 (定常解) を計算すると，以下の図のようになります (計算の詳細はノートをご参照ください)．ただし，$p_{1}$は実数なので，図には実数解のみを描きました．$\alpha=2$を境にして，実数解が1つから3つに増えることが分かります．
それぞれの平衡点に関して線形安定性解析を行うことで，各平衡点が安定なのか不安定なのかを見ることができます．ただし，線形安定性解析では解くべき式を"線形化"しているため，平衡点に十分近い領域でのみ有効であることに注意してください．
下図のうち実線は安定な平衡点，破線は不安定な平衡点を表します．このような分岐はピッチフォーク分岐 (熊手型分岐) と呼ばれます．
詳しくはノートをご覧ください．
勉強ノート
勉強ノート (pdf) は以下に置きました．
内容に誤りを含む可能性がありますので，取り扱いにはご注意ください．