件名が結論。
以下実験です。

まずはbashで以下を実行。

$ [ a = b ] && echo true || echo false
false
$ [ a == a ] && echo true || echo false
true

同じコマンドをdashで実行。

$ [ a = b ] && echo true || echo false
false
$ [ a == a ] && echo true || echo false
[: 4: a: unexpected operator
false

zshでもdashと同様の結果になりました。

おそらく、bashというシェルスクリプトの処理系が、if文やtest文の==を=とみなしてくれているだけなのでしょう。

求) シェルスクリプトの言語仕様の一次ソース
見つからないよー 

(追記)
コメントでのご指摘を受けたりさらに調べたりしたまとめ。

シェルスクリプトの仕様については、POSIXの通り。
== は独自拡張なので、bash, ksh, csh などでは使える。
checkbashisms コマンドでチェックできて便利そう
- https://fumiyas.github.io/2013/12/19/portable.sh-advent-calendar.html

また、
http://mywiki.wooledge.org/Bashism
に、bash->dashへの移植の際、よくある仕様の違いについて記述されている模様。