はじめに

モータ選定の仕様は、「60 rpm まで 0.5 秒で加速したい」のように、回転数と加速時間で決まっていることがよくあります。一方、加速に必要なトルクの式 $T = J\alpha$ で使うのは 角加速度 $\alpha$ [rad/s²] です。

この記事では、回転数 [rpm] と加速時間 [s] から角加速度を求め、必要トルクを見積もるまでを手計算します。あわせて、加速時間を短くすると必要トルクがどう変わるか も確かめます。

負荷の慣性モーメント $J$ は、前回の記事（直方体負荷の慣性モーメントと平行軸の定理）で求めた値を使います。

前提条件

回転数 $n$ [rpm] は「1分間の回転数」です。1回転は $2\pi$ rad、1分は 60 s なので、角速度 $\omega$ [rad/s] は次のようになります。

\omega = \frac{2 \pi n}{60}

停止（$\omega = 0$）から一定の角加速度で、時間 $t$ の間に $\omega$ まで上げるので、角加速度は速度パターンの傾きです。

\alpha = \frac{\omega}{t} = \frac{2 \pi n}{60\, t}

T_{\mathrm{acc}} = J \alpha, \qquad T_{\mathrm{req}} = T_{\mathrm{acc}} \, S

$2\pi/60$ の換算を忘れると、トルクを約 9.5 倍に見積もってしまいます。 rpm の値をそのまま rad/s として使うと、$60/(2\pi) \approx 9.55$ 倍の角加速度になるためです。

暗算で桁を確かめたいときは、$2\pi/60 \approx 0.105$ なので、$\alpha \approx n \div t \div 10$ と覚えておくと便利です（正しい値より約 5% 小さくなります）。

前回の記事の「直方体を端で回転」の負荷を、60 rpm まで 0.5 秒で加速します。

慣性モーメント $J = 1.48\ \mathrm{kg \cdot m^2}$（12 kg、200 × 50 × 600 mm の直方体を、長さ方向の端の鉛直な軸で回す）
回転数 $n = 60\ \mathrm{rpm}$、加速時間 $t = 0.5\ \mathrm{s}$、安全率 $S = 1.5$

\omega = \frac{2 \pi \times 60}{60} = 2\pi \approx 6.283\ \mathrm{rad/s}

\alpha = \frac{6.283}{0.5} \approx 12.57\ \mathrm{rad/s^2}

T_{\mathrm{acc}} = 1.48 \times 12.57 \approx 18.6\ \mathrm{N \cdot m}, \qquad T_{\mathrm{req}} = 18.6 \times 1.5 \approx 27.9\ \mathrm{N \cdot m}

暗算の目安では $\alpha \approx 60 \div 0.5 \div 10 = 12$ で、桁が合っていることを確かめられます。

$\alpha = 2\pi n / (60, t)$ なので、角加速度は 加速時間 $t$ に反比例 します。加速トルク $T_{\mathrm{acc}} = J\alpha$ も同じです。

同じ負荷（$J = 1.48\ \mathrm{kg \cdot m^2}$）を 60 rpm まで加速する場合：

加速時間 $t$ [s]	$\alpha$ [rad/s²]	$T_{\mathrm{acc}}$ [N·m]	$T_{\mathrm{req}}$ [N·m]（$S = 1.5$）
1.0	6.28	9.30	13.9
0.5	12.6	18.6	27.9
0.25	25.1	37.2	55.8

加速時間を半分にすると、必要トルクは2倍 になります（加速トルクだけを考えた場合。摩擦や重力のトルクは加速時間では変わりません）。回転数を2倍にした場合も同じく2倍です。

「タクトタイムを縮めたいので加速時間を半分に」という変更は、モータの選び直しにつながることがあります。仕様を決める段階で、加速時間を何秒にするかをトルクと合わせて検討しておくと安心です。

筆者が個人で運営しているモータ必要トルク計算で、この記事の計算を試せます。