Proxy環境下では http_proxy 、 https_proxy 、no_proxy の環境変数を利用すると思います。

特にDockerを利用する場合はdockerd自体がProxyの設定を認識する必要があります。通常は以下のように設定したりします。

しかし、CodeBuildにおいてはジョブ開始時からDockerが立ち上がった状態です。そこで以下のようにdockerのプロセスを一度落として、その後起動することでProxy設定を読み込むことが可能です。

version: 0.2

# Proxy関連の環境変数は事前設定されている前提
phases:
# 省略
  build:
    commands:
      - docker info
      - kill -9 $(cat /var/run/docker.pid)
      - while kill -0 $(cat /var/run/docker.pid) ; do sleep 1 ; done
      - /usr/local/bin/dockerd-entrypoint.sh
      - docker info
# 省略

2回目の docker info ではProxyの設定が入っていると思います。

 HTTP Proxy: http://proxy.local
 HTTPS Proxy: http://proxy.local
 No Proxy: 169.254.169.254,169.254.170.2