統計等でよく出てくる平均、偏差、分散、標準偏差、偏差値について、数式で整理してみました。なお、母集団 と標本という概念もあるため、それぞれ分けてまとめてみました。

1. 平均（Mean）

$$
\mu=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}x_i
$$

$$
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i
$$

2. 偏差（Deviation）

$$
d_i=x_i-\mu
$$

$$
d_i=x_i-\bar{x}
$$

$$
\sigma^2=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2
$$

$$
s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2
$$

$$
\sigma=\sqrt{\sigma^2}=\sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2}
$$

$$
s=\sqrt{s^2}=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}
$$

分母が $n−1$ になるのは「不偏分散」として偏りを補正するためらしいです。

$$
T=50+10\cdot\frac{x-\mu}{σ}
$$

$$
T=50+10\cdot\frac{x-\bar{x}}{s}
$$

偏差値は基本的に「標本」に対して使うものらしいです。全体（母集団）を推定するための指標として使われるらしいです。

以上