統計等でよく出てくる 平均、偏差、分散、標準偏差、偏差値について、数式で整理してみました。なお、母集団 と 標本 という概念もあるため、それぞれ分けてまとめてみました。
1. 平均（Mean）
1.1. 母集団平均（Population Mean）
$$
\mu=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}x_i
$$
- $\mu$：母集団の平均
- $N$：母集団のデータ数
- $x_i$：母集団の各データ点
1.2. 標本平均（Sample Mean）
$$
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i
$$
- $\bar{x}$：標本の平均
- $n$：標本のデータ数
- $x_i$：標本の各データ点
2. 偏差（Deviation）
2.1. 母集団偏差（Population Deviation）
$$
d_i=x_i-\mu
$$
- $d_i$：母集団の偏差
- $x_i$：母集団の各データ点
- $\mu$：母集団の平均
2.2. 標本偏差（Sample Deviation）
$$
d_i=x_i-\bar{x}
$$
- $d_i$：標本の偏差
- $x_i$：標本の各データ点
- $\bar{x}$：標本の平均
3. 分散（Variance）
3.1. 母集団分散（Population Variance）
$$
\sigma^2=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2
$$
- $\sigma^2$：母集団の分散
- $N$：母集団のデータ数
- $x_i$：母集団の各データ点
- $\mu$：母集団の平均
3.2. 標本分散（Sample Variance）
$$
s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2
$$
- $s^2$：標本の分散
- $n$：標本のデータ数
- $x_i$：標本の各データ点
- $\bar{x}$：標本の平均
4. 標準偏差（Standard Deviation）
4.1. 母集団標準偏差（Population Standard Deviation）
$$
\sigma=\sqrt{\sigma^2}=\sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2}
$$
- $\sigma$：母集団の標準偏差
- $\sigma^2$：母集団の分散
- $N$：母集団のデータ数
- $x_i$：母集団の各データ点
- $\mu$：母集団の平均
4.2. 標本標準偏差（Sample Standard Deviation）
$$
s=\sqrt{s^2}=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}
$$
- $s$：標本の標準偏差
- $s^2$：標本の分散
- $n$：標本のデータ数
- $x_i$：標本の各データ点
- $\bar{x}$：標本の平均
分母が $n−1$ になるのは「不偏分散」として偏りを補正するためらしいです。
5. 偏差値（Standard Score）
5.1. 母集団に対する偏差値の式
$$
T=50+10\cdot\frac{x-\mu}{σ}
$$
- $T$：偏差値
- $x$：1つのデータ
- $\mu$：母集団の平均
- $\sigma$：母集団の標準偏差
5.2. 標本に対する偏差値の式
$$
T=50+10\cdot\frac{x-\bar{x}}{s}
$$
- $T$：偏差値
- $x$：1つのデータ
- $\bar{x}$：標本の平均
- $s$：標本の標準偏差
偏差値は基本的に「標本」に対して使うものらしいです。全体（母集団）を推定するための指標として使われるらしいです。
以上