群の部分群について

aiya advent calendar 4日目の記事です.
前回はaiya000さんの貴方はMarkdownでTexすることができるでした.

無茶ぶり感が半端無かったですね.

さて, 本論.

なんだろう.
前aiyaさんに振った問題の解説でもすればいいのかな?

$G$を群とし, $G^\prime$を$G$の部分群とする.

$G$の単位元と$G^\prime$の単位元が一致することを示せ.

いや, 簡単ですよ?

10分ほど考えてみてください.

...

はい, 解答例です.

$G$の単位元を$1_G$とします.

このとき, $1_G \in G^\prime$が示されれば, 全ての$g \in G^\prime \subset G$に対して

  g \cdot 1_G = 1_G \cdot g = g

であるので, $1_G$が$G^\prime$の単位元であることが分かります.
そこで, $1_G \in G^\prime$を示しましょう.

$G^\prime$が$G$の部分群であるとは, $G^\prime$が$G$と同じ演算に関して群になっていることでした.
さらに, 群は空集合ではないので, $G^\prime$は空ではありません.

そこで, $G^\prime \subset G$の任意の元$g$を取ってきます.
すると,

  gg^{-1} = 1_G \in G^\prime

となるので, $1_G \in G^\prime$が分かりました.

以上によって, $G^\prime$の単位元は$1_G$であることが分かりました.

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明日はaiya000さんの「非可換体のガロア理論」です。

よろしくおねがいします.