例えばGitHub Actionsでtagをつけ、その生成されたtagをトリガーにGitHub ActionsでなにかしようとしてもGitHub Actionsは動きませんん。
GitHub Actionsによって生成されたもの（つまりsecret.GITHUB_TOKENを使ったcommitなど)はGitHub Actionsのトリガーにはならないようになっているからです。たぶん、無限ループになったりするのを避けるためかと思われます。
回避方法
これを回避方法はGITHUB_TOKENを使わないことです。
まず、GitHubのPersonal Access Tokenを取得します。
そして、こちらにあるように、RepositoryのSettingのSecretsに追加します。
そしてGITHUB_TOKENの代わりに設定したsecretを使います。${{ secrets.XXX }}
注意する点は、無限ループに陥ることはないかチェックすることです。