Flutterでは、ユーザーに「日付」を選択させたいときはshowDatePickerメソッドを使います。
UIは下の画像みたいな感じ。

これを使えば「誕生日を要求する」こともできます。
少し使い方にクセがあると感じたので、今回はshowDatePickerの基本的な使い方を紹介します。

main.dart

RaisedButton(
  child: Text('誕生日を設定する'),
  onPressed: () async {
    final date = await showDatePicker(
      context: context,

      locale: const Locale("ja"), //日本語化（アプリ自体を日本語対応させる必要があります。今回は省略させていただきます）
      initialDatePickerMode: DatePickerMode.year, //最初に年から入力させる
      initialDate: DateTime(DateTime.now().year - 10), //最初に選択させる日付（今回は10年前）

      firstDate: DateTime(DateTime.now().year - 100, DateTime.now().month, DateTime.now().day), //選択可能な、もっとも古い日付（今回は100年前の今日にしています）
      lastDate: DateTime(DateTime.now().year - 6, DateTime.now().month, DateTime.now().day), ////選択可能な、もっとも新しい日付（今回は6年前の今日にしています）
    );

    if (date != null) {
      //誕生日を取得した後の処理をここに書く
    }
  },
),

ざっとこんな感じ。（なお、今回は日本語化に関しての詳細は省かせていただきます。）

main.dart

      initialDatePickerMode: DatePickerMode.year, //最初に年から入力させる

これで「年」から入力させるようにできます。
誕生日なんかはいきなり月日からではなく、まずは年から選択させたいことが多いので、これは多用するかも。

main.dart

      initialDate: DateTime(DateTime.now().year - 10), //最初に選択させる日付（今回は10年前）

これは日付選択のポップアップが表示されたとき、一番最初に選ばれている日付を設定します。

main.dart

      firstDate: DateTime(DateTime.now().year - 100, DateTime.now().month, DateTime.now().day), //選択可能な、もっとも古い日付（今回は100年前の今日にしています）
      lastDate: DateTime(DateTime.now().year - 6, DateTime.now().month, DateTime.now().day), ////選択可能な、もっとも新しい日付（今回は6年前の今日にしています）

ここでは「日付選択の範囲」を設定しています。
さすがに0歳児に扱わせるわけにもいかず、かえって200、300歳の超絶高齢者がいるわけでもないので、とりあえず今回は「6歳～100歳」に範囲制限しています。

ちなみにDateTime型の形式は以下の通り。

もし「10年3か月4日前」と表現させたい場合は、上記に沿って考えると

DateTime(DateTime.now().year - 10, DateTime.now().month - 3, DateTime.now().day - 4)

と表現できますし、「10年4日前」と表現させたい場合は

DateTime(DateTime.now().year - 10, DateTime.now().month, DateTime.now().day - 4)

と表現できます。

main.dart

    if (date != null) {
      //誕生日を取得した後の処理をここに書く
    }

最後に、showDatePickerメソッド外のこの記述ですが、日付無選択ならnullが返ってくるので「日付を選択されたとき」のみ処理を実行させるようにしています。

上のコードをコピペすれば、とりあえずshowDatePickerを表示するRaisedButtonウィジェットを実装できると思います。