これからDeep Q-Network（DQN）を実装してみたい人向けです。
理論に深入りはせず、少々実装寄りの内容になっています。
また、切り口や表現、説明の仕方が、他の方々の解説とは一味違うかもしれません。

本稿が対象とする読者は、
・Q-Learningについては理解している
・ニューラルネットワークの基本は理解している
方、を想定しています。

Q-LearningからDQNへの発展

Q-Learningではできないこと、そしてそれをQ-Learningの流れを汲んだDQNがどう実現したのか、について。

Q-Learningではできないこと

＜復習＞TD（Temporal Difference）を用いたQ値の更新の仕方

Q-Learningは、現在のQ(s, a)値を保持する、状態sと行動aの2軸のQ(s, a)テーブルを基盤としています。
Agentを動かし、軌跡と即時報酬を得ながら、そのQ(s, a)テーブル内の各Q値を、「TD（Temporal Difference）」を加味しながら更新していきます。

具体的には以下です。

時刻tに状態s(t)=s1において行動a(t)=a2を取り、状態s(t+1)=s3に遷移して即時報酬r(t+1)を得た、とします。
Q(s, a)テーブル内のQ(s1, a2)値を以下のように更新します。

上式の「maxQ～」のところがQ-Learningのキモで、同一のある状態sについて、定義されている行動a全ての中で最大となるQ(s, a)値を、TD（Temporal Difference）の算出に使用するのでした。
そして、Q値の更新は、上式のごとく、現在のQ(s, a)値に、学習率αで程よく調整したそのTDを加算する、という方法を取ります。

このように、Q-Learningは、現在のQ(s, a)値を保持する、状態sと行動aの2軸のQ(s, a)テーブルを基盤としています。

Q(s, a)テーブル方式の限界

しかし、そもそも状態sと行動aの2軸のQ(s, a)テーブルというものを作ることができるのは、sとaの組合せがある程度の数で収まる場合だけです。
例えば状態sが連続値の場合など、sとaの組み合わせがある程度の数では収まらない場合、Q(s, a)テーブルを作るのは不可能です。
（ちなみに、行動aが連続値の場合、そもそもDQNを含めたQ-Learning系のメソッドを使用することは考えにくいです。定義されている全aに対するQ(s, a)のmaxを取る必要があり、行動aが離散値でないとやりにくいからです。）

Q(s, a)テーブルではなく、Q(s, a)の近似値を出力する関数にする

Q(s, a)の近似値を出力する関数を作り、その関数のパラメーターを最適化することにより、実際にQ(s, a)の近似値を出力できるようにします。
このようにすれば、Q(s, a)のテーブルを保持する必要はありません。
そして、**関数の実体として、表現力が豊かなニューラルネットワーク（以降「NN」）を使用したのが、Deep Q-Network、「DQN」**です。
※冗長なので、以降は「Q(s, a)の近似値」の「近似値」を省略します。

以降、説明の材料として、OpenAIGymの「CartPole」を使用します。

茶色のバーが倒れないように、黒の台車（Agent）を「左」「右」に動かします。
この「左」「右」が、定義されている行動aです。

Deep Q-Network（DQN）

ここからが本論で、DQNそのものについて語りたいと思います。

一般的構成

入力と出力

「関数」なので、入力と出力があります。
今までの話の流れを正しくとらえていると、以下のように発想するのが自然です。
「Q(s, a)テーブルの代わりになるのだから、状態sと行動aのペアを入力とし、そのQ(s, a)値を1個出力する」

しかし、実際にはこのような構成を取りません。
一般的には、以下の構成を取ります。
入力：状態s
出力：（離散値として）定義されている全ての行動aの1つ1つに対する、Q(s, a)値

例えばCartPoleなら、出力層のニューロンは、定義されている全ての行動a「左」「右」の2個であり、1回の順伝播での出力は、Q(s, a=左)とQ(s, a=右)の2個となる、ということです。

なぜこのような出力構成になっているか、は、下の図の通りです。
※DQNのTD（Temporal Difference）については、後で詳しく述べます。とりあえず今は、DQNで使用されるTDの式の中に、$ max_{a'}[Q(s(t+1), a')] $というのがあって、「全aについてのQ(s, a)の最大値を取る必要があるんだな」、くらいの認識でいいです。

要は、**行動aの全てについてのQ(s, a)のmaxを取る必要があるんだったら、その各aについてのQ(s, a)を一度に出してしまう、**ということです。
下の図では、Q(s, a=左)=10 < Q(s, a=右)=100なので、Q(s, a=右)=100がmaxであることが、1度の順伝播でわかります。

DQNの訓練

DQNはパラメーターにより構成されるNNです。
このパラメーターをどう最適化してQ(s, a)の近似値を出力できるようにするか、がテーマです。

訓練の方向性～「TD（Temporal Difference）の最小化」

DQNはQ(s, a)を出力する関数であり、元祖Q-LearningのようにQ(s, a)テーブルを保持していないので「現在のQ(s, a)値」というものは存在しません。
従って、元祖Q-Learningの訓練の方針である
「現在のQ(s, a)値に、学習率αで程よく調整したTDを加える」という方法は取りません（取れません）。

DQNはNNの一種であり、「損失（誤差）を定義し、誤差逆伝播によりパラメーターを最適化していく」ということは他のNNと変わりありません。
DQNでは、**「TDをNNの損失（Loss）に見立てて、それを回帰タスクを解くことで最小化していく（最小化するパラメーターを求める）→結果としてQ(s, a)を近似できるようになる」**ということをします。
※実際にはTDそのものを損失（Loss）とするのではなく、TDをもとに算出した2乗和損失やHuber損失といったものを損失（Loss）として使用します。

回帰タスク

DQNで使用されるTD（Temporal Difference）と損失（Loss）

DQNで使用されるTDは、以下の数式で表されるものです。

r(t+1)+γmax_{a'}[Q(s(t+1), a')]-Q(s(t), a(t))

回帰タスクにおける損失には、教師信号の定義がさらに必要です。
教師信号、TD、損失をまとめたのが、以下の図です。

DQN回帰タスクの損失（Loss）は、TDをもとに算出した2乗和損失やHuber損失です。
例えば、最もよく用いられる2乗和損失は、$ TD^{2}/2 $です。
※実装では、バッチで平均を取ることを忘れないでください。

この回帰タスクの大きな問題

この回帰タスクには、大きな問題が1つあります。
それは、
**教師信号のもとになるQ値を、訓練されるNN自らが生成**する必要がある
ということです。

教師信号

r(t+1)+γmax_{a'}[Q(s(t+1), a')]

の中に「Q(s(t+1), a')」というのがあります。
これはQ値なので、NNの出力値です。
NNの訓練に使用する教師信号（正解として出力値を近づける目標値）がそのNN自身の出力値によって成り立っている、という、不合理なことが起こっているわけです。

一般的な教師あり学習では、不変の正解である「教師データ」が渡されます。
が、DQNには（というより強化学習全般的に）そういうものは無いので、「教師信号」を自ら作り出すしかない、という背景があります。

この問題から、以下の2つの問題が派生します。

問題1：教師信号の値の妥当性

1イテレーションだけで見たときに、「その教師信号を回帰の目的値としていいか」という観点です。

教師信号を構成するQ値単体では、訓練途上の未熟なNNが出力したものなので、値も不正確なものでしょう。
が、同様に教師信号を構成する即時報酬「r(t+1)」を見てわかる通り、この教師信号全体としては、「s(t)で実際にa(t)してs(t+1)に進み実際に即時報酬r(t+1)を得た後の、少し正確になった見積」とみなすことができます。
なので、この”ささやかな”回帰を多数回地道に繰り返し、尺取虫のように「正しいQ値」に近づけていける、と考えることができます。
また、この教師信号の値の”質”の問題については、例えばmulti-step learningなど改善の手法が編み出されており、それらを併用することにより、改善することができます。

問題2：教師信号の値が激しく変動（Moving Target）

NNは訓練途上にあるので、頻繁にパラメーターが更新されます。そのNNが自ら教師信号のもとになるQ値を生成するので、教師信号が揺れる、というのは理解しやすいと思います。
**目的値たる教師信号が激しく変動する（Moving Target）ので、当然訓練は安定しません。結果、NNは、よい近似値のQ値を出力するところまでちゃんと訓練されない、**ということになります。

NNのパラメーター更新頻度そのものが問題だが、パラメーター更新頻度を下げてしまうと、NNの訓練自体が進まなくなってしまう
→では訓練対象のNNのクローンを作ってそれに教師信号のもとになるQ値を出力させ、たまにしかパラメーター更新しないようにすればいいでしょ
という考え方で、「Fixed Target Q-Network（Fixed Target QN）」とか「Target QN固定」と呼ばれる手法が考え出され、定着するに至りました。

Fixed Target Q-Network（Fixed Target QN）

・**教師信号のもとになるQ値を出力するだけが役割のNN「Target QN」**を用意
・「Target QN」は、もともとの訓練対象NN「Main QN」のクローン
　レイヤー構成、パラメーター初期値が同じ。
・Main QNのパラメーター更新頻度より低い頻度で、Main QNのパラメーターをTarget QNにコピー
　例）Main QNのパラメーター更新が1ステップ毎なら、パラメーターコピーは1エピソード毎
　Target QNへのパラメーターコピーの頻度は、Main QNのパラメーター更新頻度より低い頻度（これが「Fixed」）でなければ意味がない。

Main QNのパラメーターを「$ θ $」、Target QNのパラメーターを「$θ^-$」と表記すると、TDの式は以下のように変わります。

DQNで使用されるTD（Temporal Difference）～Fixed Target QN適用

r(t+1)+γmax_{a'}[Q(s(t+1), a';θ^{-})]-Q(s(t), a(t);θ)

上式中、2個あるQ値のうち1個目（左側）のQ値は教師信号を構成するQ値です。つまりTarget QNの出力なので、「 $;θ^-$ 」となっています。

DQN訓練の全体図～Fixed Target QN適用

※字が小さくなってしまったので、クリックして拡大して見た方が良いです。

全体図の補足

・「Experience Replayにより、あらかじめ収集されている経験データ」
　DQN訓練前、及び訓練中に渡って、DQNの推論結果に基づきAgent（CartPoleなら黒の台車）を動かし、大量の軌跡と即時報酬の履歴を収集・保管し（これが「経験データ」）、DQN訓練データとして使用する、というものです。
　Experience Replayは、DQNとセットで使用される手法、と認識しています。
　本稿中のDQNの「s(t)」「a(t)」「s(t+1)」「r(t+1)」というのは、実はこの大量の経験データの一部です。
　Experience Replayについては、後で詳しく述べます。

・「a(t)ではないニューロンにあてる教師信号は出力値そのものとする」
　NNの教師あり学習の誤差逆伝播の基本なのですが、出力層の全ニューロンに対して、教師信号が必要です。
　しかし、TDの式

r(t+1)+γmax_{a'}[Q(s(t+1), a';θ^{-})]-Q(s(t), a(t);θ)

の最後の項、いわゆる算数の「引く数」は、$ Q(s(t), a(t);θ) $ です。
　これは、出力層の全ニューロン（定義されている行動aの全て、CartPoleなら「左」「右」）のうち、**行動aがa(t)である1個の出力ニューロンの出力値を回帰で是正する式でしかない、**ということです。
　例えば、経験データ中のa(t)=左なら、「左」の出力ニューロンの出力値Q(s(t), a=a(t)=左)のみの是正であり、「右」（≠a(t)）の出力ニューロンの出力値Q(s(t), a=右)に対するものではない、ということです。
　しかし前述の通り、NN教師あり学習の誤差逆伝播では、**この「右」（≠a(t)）の出力ニューロンに充てる教師信号も必要なのです。ではその教師信号は何？という話で、「それは出力値Q(s(t), a=右)と全く同じとする。「右」の出力ニューロンの出力値として何が妥当か不明なので、”出力値は現状維持”しかない」**というのがここの趣旨です。

＜補足＞DQNの訓練で追加適用される手法

DQNの訓練をする際、必ずorよく適用される手法をいくつか挙げます。

Experience Replay

例えば以下のようにしたとします（1エピソード毎にNNを更新するとする）。
－－－－－－－
「Agentが状態s(t)でa(t)し、その結果s(t+1)に遷移し即時報酬r(t+1)を得た」
　　　↓
「引き続きAgentが状態s(t+1)でa(t+1)し、その結果s(t+2)に遷移し即時報酬r(t+2)を得た」
　　　：
エピソード終了
このエピソードの全軌跡（一連の状態sと行動a）と即時報酬の履歴を用いて、NNを更新
－－－－－－－

これら入力データ「一連の状態s」は典型的な時系列データであり、互いに独立ではないです。
相関性の強い入力系列を用いて訓練すると、訓練が安定しないことが知られています。

この問題に対処するための「Experience Replay」という手法があり、DQNでは通常この手法を使用します。

Experience Replayの骨子は以下の通りです。
・訓練前に（だけでなく訓練中でも）Agentを走らせて大量の経験データを収集し蓄積
　「Agentを走らせる」とは、訓練対象DQNにQ値を出力させ、そのQ値に基づく推論actionをAgentに取らせる、ということです。
・その蓄積された大量の経験データ群からランダムに経験データを抽出し、訓練に使用
　「相関性の強い入力系列」でなくするために、ランダム抽出します。

「経験バッファ」（あるいは「経験メモリ」）と呼ばれる”容器”に、Agentを動かして、経験データという”水”をひたすら注いでいきます。
経験バッファ（容器）が満タンになると、古い経験データ（水）から捨てられていく、という仕組みになっています。
経験バッファ（容器）の容量はけっこう大きめです（1万～数十万件の経験データ）。

時刻tにおいてAgentが1ステップ動く、ということを軌跡と即時報酬で表現すると以下のようになります。
「状態s(t)で行動a(t)を取り、状態s(t+1)に遷移して即時報酬r(t+1)を得た」
この１ステップの軌跡と即時報酬を経験データ1件として経験バッファに格納します。
つまり、**経験データ1件[ s(t)、a(t)、s(t+1)、r(t+1) ]が1万～数十万件、経験バッファに格納されており、訓練データとしてこの中からランダムサンプリングされる、**ということになります。

Multi-step learning

教師信号の”質”を上げる手法です。
本稿の今までのTDは、「1」ステップだけ進め、その遷移先s(t+1)で得た即時報酬r(t+1)のみを使用していました。

r(t+1)+γmax_{a'}[Q(s(t+1), a';θ^{-})]-Q(s(t), a(t);θ)

が、さらに「数」ステップ進め、その間に獲得した即時報酬と遷移先の情報を使用した方が、「実際起きたこと」の情報が多いので、教師信号として正確になるのでは、という考え方によります。

例えば、2ステップ進め、その間の即時報酬を使用する場合、TDは、

r(t+1)+γr(t+2)+γ^{2}max_{a'}[Q(s(t+2), a';θ^{-})]-Q(s(t), a(t);θ)

3ステップの場合、TDは、

r(t+1)+γr(t+2)+γ^{2}r(t+3)+γ^{3}max_{a'}[Q(s(t+3), a';θ^{-})]-Q(s(t), a(t);θ)

従って「nステップ先まで進める」と一般化すると、TDは、

\sum_{k=1}^{n}(γ^{k-1} r(t+k))+γ^{n}max_{a'}[Q(s(t+n), a';θ^{-})]-Q(s(t), a(t);θ)

となります。

n=1、つまり1ステップだけ進めて教師信号を算出する場合の式が、本稿で今まで見てきたTDの式だということがわかると思います。
逆に、突き詰めて最終ステップまで進めると、モンテカルロ法になります。

※上式いずれも、Fixed Target QNを併用している前提で書いています。

DQN訓練の全体図～Fixed Target QNとMulti-step learning適用

※字が小さくなってしまったので、クリックして拡大して見た方が良いです。

Multi-step learningは、原理が単純で理解しやすく、実装も難しくなく効果もあります。
DQN実装時は、Multi-step learningを適用することをオススメします。

ちなみに、n=2～5くらいが最も良い結果が得られる、とのことです。
Multi-step learningの趣旨から、「2～5ステップなんてケチなこと言わないで、最後まで行ってしまえばいいじゃないか」と思ってしまうかもしれません。
しかしそれだとモンテカルロ法と同じで、「バイアス」の問題が発生してしまいます。
訓練途中の（未熟な）DQNが推論した結果の行動に基づきAgentが動き、その軌跡と道中の即時報酬が訓練データとして使用されます。
例えば100ステップまで進めたとすると、その軌跡と即時報酬の履歴は、訓練十分なDQNが推論した結果のそれらとかなり乖離があるでしょうから、教師信号としては不正確なはずです。
しかし2～5ステップなら、それほどの乖離は無いでしょう。
いささか乱暴な例えですが、
酔っ払いの100歩はシラフの人の100歩とは軌跡は随分違うだろう。しかし2～5歩くらいならまあそんなに違わないだろう。
ということだと思います。

報酬のクリッピング

即時報酬を、+1、0，-1の3通り「のみ」とします。
これにより、訓練は安定しスピードが上がります。
一般的には、（本来の即時報酬値が）正の場合は+1，負の場合は-1，0の場合はそのまま0
とします。

ここで誰しもが疑問に思うのは、
「行動の良し悪しの程度を報酬で表現できないのならば、”より良い行動”を学ばなくなるのでは？」
だと思います。
確かにそれはこの手法の短所だと思います。
が、それ以上に訓練の安定性が欲しい、というタスクもあろうかと思います。
そういう場合に使用するのが良いでしょう。