方針
X_1,X_2の同時分布の確率密度関数は，
\begin{align}
f_{X_1,X_2}(x_1,x_2)&=\frac{1}{2\pi\sqrt{(1-\rho^2)\sigma_1^2\sigma_2^2}}\exp\\
& \left[\frac{1}{2(1-\rho^2)}\{(\frac{x_1-\mu_1}{\sigma_1})^2-2\rho\frac{x_1-\mu_1}{\sigma_1}\frac{x_2-\mu_2}{\sigma_2}+(\frac{x_2-\mu_2}{\sigma_2})^2\}\right]
\end{align}
である．今，X_2=x_2が与えられているので，x_2を定数扱いすることによって条件付き分布を求める．
ところで，「条件付き〜」の文脈で「X=xが与えられた時」と言われたらxは定数であり，1とか2とか，陽性とか陰性とか，具体的な値だと思えば良い．例えば，X=xのもとでのg(X,Y)の条件付き期待値：
\mathbb{E}[g(X,Y)|X=x]=\int g(x,y)f_{Y|X}(y|x)dy
では，xは条件付けられた値であるから，期待値は「定数」である．一方，Xが与えられた時のg(X,Y)の条件付き期待値：
\mathbb{E}[g(X,Y)|X]=\int g(x,y)f_{Y|X}(y|x)dy
では，期待値は確率変数なので，期待値や分散を考えることができる．このように，いずれの「条件付き」でも変数を定数扱いするのに変わりはないが，条件づける値が具体的な定数なのか，実際は変数だがひとまず定数として見て条件付けているのか，で若干意味合いが異なる．そのため，「X=xを与えた時」「Xを与えた時」で区別されている．
最後に，条件付き分布を求める時，
\begin{align}
f_{X|Y}(x|y)&= \frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_Y(y)}\\
&= \frac{f_{X,Y}(x,y)}{\int f_{X,Y}(x,y)dy}
\end{align}
を考えたくなるが，f(x,y)を持っているならyを定数扱いすれば良いのでわざわざ積分したりする必要はない．
答案
X_1,X_2の同時分布の確率密度関数は，
\begin{align}
f_{X_1,X_2}(x_1,x_2)&=\frac{1}{2\pi\sqrt{(1-\rho^2)\sigma_1^2\sigma_2^2}}\exp\\
& \left[\frac{1}{2(1-\rho^2)}\{(\frac{x_1-\mu_1}{\sigma_1})^2-2\rho\frac{x_1-\mu_1}{\sigma_1}\frac{x_2-\mu_2}{\sigma_2}+(\frac{x_2-\mu_2}{\sigma_2})^2\}\right]
\end{align}
である．expの{}の中身は，
\begin{align}
& (\frac{x_1-\mu_1}{\sigma_1})^2-2\rho\frac{x_1-\mu_1}{\sigma_1}\frac{x_2-\mu_2}{\sigma_2}+(\frac{x_2-\mu_2}{\sigma_2})^2\\
&= \frac{1}{\sigma_1^2}x_1^2-2(\frac{\mu_1}{\sigma_1^2}+\rho\frac{x_2-\mu_2}{\sigma_1\sigma_2})x_1+\frac{\mu_1^2}{\sigma_1^2}+2\rho\mu_1\frac{x_2-\mu_2}{\sigma_1\sigma_2}+(\frac{x_2-\mu_2}{\sigma_2})^2\\
&= \frac{1}{\sigma_1^2}\{x_1^2-2(\mu_1+\rho\frac{\sigma_1}{\sigma_2}(x_2-\mu_2))x_1\}+\frac{\mu_1^2}{\sigma_1^2}+2\rho\mu_1\frac{x_2-\mu_2}{\sigma_1\sigma_2}+(\frac{x_2-\mu_2}{\sigma_2})^2\\
&= \frac{1}{\sigma_1^2}\{x_1-(\mu_1-\rho\frac{\sigma_1}{\sigma_2}(x_2-\mu_2))\}^2\\
&\ \ \ \ -\frac{1}{\sigma_1^2}\{\mu_1-\rho\frac{\sigma_1}{\sigma_2}(x_2-\mu_2)\}^2+\frac{\mu_1^2}{\sigma_1^2}+2\rho\mu_1\frac{x_2-\mu_2}{\sigma_1\sigma_2}+(\frac{x_2-\mu_2}{\sigma_2})^2\\
&= \frac{1}{\sigma_1^2}\{x_1-(\mu_1-\rho\frac{\sigma_1}{\sigma_2}(x_2-\mu_2))\}^2+\frac{1-\rho^2}{\sigma_2^2}(\frac{x_2-\mu_2}{\sigma_2})^2
\end{align}
と変形できる．ゆえ，expの中身は
-\frac{\{x_1-(\mu_1+\frac{\rho\sigma_1}{\sigma_2}(x_2-\mu_2))\}^2}{2(1-\rho^2)\sigma_1^2}+(1-\rho^2)\frac{(x_2-\mu_2)^2}{2\sigma_2^2}
従って，X_2=x_2が与えられた時のX_1の確率密度関数は，
\begin{align}
f_{X_1|X_2}(x_1|x_2)&= \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_1^2}}\exp\{-\frac{\{x_1-(\mu_1+\frac{\rho\sigma_1}{\sigma_2}(x_2-\mu_2))\}^2}{2(1-\rho^2)\sigma_1^2}\}\\
&\ \ \ \ \ \times\frac{1}{\sqrt{(1-\rho^2)\sigma_2^2}}\exp\{(1-\rho^2)\frac{(x_2-\mu_2)^2}{2\sigma_2^2}\}
\end{align}
×以降は定数なので，題意が従う．またX_1,X_2が無相関，つまりrho=0の時,
X_1\sim\mathcal{N}(\mu_1,\sigma_1^2),\ \ X_2\sim\mathcal{N}(\mu_2,\sigma_2^2)
が成り立つ．
参考文献
- 『現代数理統計学の基礎』(久保川達也 著)