Twitterクライアントを作っていると全ての機能を作り込むのが大変で、公式のクライアントに処理を任せたい時があります。
公式のツイート画面を開きたい時は以下のURIをIntentに渡せば大丈夫です。
Uri uri = Uri.parse("https://twitter.com/intent/tweet");
Intent intent = new Intent(Intent.ACTION_VIEW, uri);
startActivity(intent);
正式には Tweet Web Intent という機能を実現するためのURIのようですが、Intentという名前だけあって公式クライアントも対応しているようです。