円の方程式の標準形

円とは、中心点 $C$ と円周上の任意の点 $P$ と半径 $r$ との関係が、
（点$C$と点$P$を結んだ線分の長さと半径$r$が同じ長さ、すなわち、）
$$CP=r$$
となるような点$P$全体の集合のことである。
$C$の座標を$(a,b)$、点$P$の座標を$(x,y)$としたとき、$CP$の長さは、
$$ CP = \sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2}$$
となり、$CP=r$ という条件は、
$$ \sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2}=r$$
と表される。
この式の両辺を二乗すると、
$$ (x - a)^2 + (y - b)^2=r^2$$
これが円の方程式です。

【例】　中心(3,2) 半径 5 の円の方程式は

$$ (x - 3)^2 + (y - 2)^2=25$$

円の方程式の一般形

円の方程式の標準形、$(x - a)^2 + (y - b)^2=r^2$ の左辺を展開すると、
$$x^2-2ax+a^2+y^2-2by+b^2=r^2$$
整理して、
$$x^2+y^2-2ax-2by+a^2+b^2-r^2=0$$
$-2a=l,-2b=m,a^2+b^2-r^2=n$とおいて、
$$x^2+y^2+lx+my+n=0\ \cdots \ ①$$
となり、この式は$x^2$と$y^2$の係数が等しく、$xy$の項がない $x,y$ についての2次方程式となっており、円を表すことができる。
しかし、①の式が表す図形が必ずしも円とは限らない。
①の式を平方完成して変形すると、
$$\left(x+\frac{l}{2}\right)^2+\left(y+\frac{m}{2}\right)^2=\frac{l^2+m^2-4n}{4}$$
となり、

$l^2+m^2-4n > 0 $ のとき、この式は中心$\left(-\dfrac{l}{2},-\dfrac{m}{2}\right)$、半径$\dfrac{\sqrt{l^2+m^2-4n}}{2}$の円を表す
$l^2+m^2-4n = 0 $ のとき、この式は1点$\left(-\dfrac{l}{2},-\dfrac{m}{2}\right)$を表す
$l^2+m^2-4n < 0 $ のとき、この式が表す図形は存在しない（虚円）

となる。よって円の方程式の一般形は、
$$x^2+y^2+lx+my+n=0$$
$$ただし、l^2+m^2-4n > 0$$
となる。

【例】

方程式 $x^2+y^2-4x+2y+4=0$ はどのような図形を表すか。
並べ替えて
$$x^2-4x+y^2+2y+4=0$$
変形して、（両辺に$4$と$1$を加えて、左辺の $4$ を右辺に移行）
$$(x^2-4x+4)+(y^2+2y+1)=4+1-4$$
因数分解して、
$$(x-2)^2+(y+1)^2=1$$
よって、この方程式は中心 $(2,-1)$、半径 $1$ の円を表す。