方針1

「k次モーメントが存在」とは，「E[|X|^k]が有限である」と言い換えることができる．答案1を思いつくのは難しいが結果は重要．

答案1

0<h<kの時，任意のxに対して

|x|^h\leq 1+|x|^k

が成り立つ(|x|<1ならば|x|^h<1より不等式は成立．1<|x|ならば|x|^h<|x|^kより不等式は成立．)．ゆえに，両辺の期待値を取ることで，k次モーメントが有限であることを用いて，

\begin{align}
\mathbb{E}_{X\sim f_X}[|X|^h]&\leq \mathbb{E}_{X\sim f_X}[1+|X|^k]\\
&= 1+\mathbb{E}_{X\sim f_X}[|X|^k]<\infty
\end{align}

となるため，

\mathbb{E}_{X\sim f_X}[|X|^h]<\infty

よりXはh次のモーメントを持つ．

区間Iにおいて関数phi(x)が凸であるとは，I内の任意のx,yと0<gamma<1に対し

\phi(\gamma x+(1-\gamma)y)\leq \gamma\phi(x)+(1-\gamma(y))

が成り立つ，ということである．

phiが凸関数である時，phi内の任意の点は，phi上の任意の接線よりも上にある(y=x^2を想像するとわかる)．つまり，任意のzについて，phiの接線は

y=\phi'(z)(x-z)+\phi(z)

であって，全てのxについて

\phi(x)\geq \phi'(z)(x-z)+\phi(z)

が成り立つ．このことは後のJensenの不等式の証明に用いる．

phiが凸であることと，定義域内の全てのxについて

\phi''(x)\geq 0

が成り立つことは同値である．

例：

\phi(x)=-\log(x)

に対し，

\phi''(x)=\frac{1}{x^2}>0,\ \forall x>0

なので，phiは凸関数．

確率変数Xについて，Xは一次モーメントが存在するとする．phiを確率空間上で凸な関数とすると，

\phi(\mathbb{E}_{X\sim f_X}[X])\leq \mathbb{E}_{X\sim f_X}[\phi(X)]

が成り立つ．(等号成立条件はXが定数か，phiが直線であること．)

(証明)

\mu=\mathbb{E}_{X\sim f_X}[X]

と置く．x=muにおけるphiの接線は，

y=\phi'(\mu)(x-\mu)+\phi(\mu)

である．この時，全てのxで

\phi(x)\geq \phi'(\mu)(X-\mu)+\phi(\mu)

が成り立つ．両辺の期待値を取ることで，

\mathbb{E}_{X\sim f_X}[\phi(X)]\geq \phi'(\mu)\mathbb{E}_{X\sim f_X}[X-\mu]+\phi(\mu)=\phi(\mu)=\phi(\mathbb{E}_{X\sim f_X})

関数phiを

\phi(x)=x^k

と置く．これは

\phi''(x)=k(k-1)x^{(k-1)(k-2)}>0, \forall x>0

より凸関数である．Jensenの不等式により

(\mathbb{E}_{X\sim f_X}[X^h])^{k/h}\leq \mathbb{E}_{X\sim f_X}[X^{h\times k/h}]=\mathbb{E}_{X\sim f_X}[X^k]

が成り立つ．今，k次モーメントは存在するので

\mathbb{E}[X^h]<\infty