1.方針

XがYよりも確率的に大きい，という条件から，期待値をP[X>t],P[Y>t]を使った形で書けないか考える．すると，2.7で証明した

\begin{align}
\mathbb{E}_{X\sim f_X}[X]&= \int_0^\infty\{1-F_X(x)\}dx-\int_{-\infty}^0F_X(x)dx\\
&= \int_0^\infty P[t\leq X]dt-\int_{-\infty}^0\{1-P[t\leq X]\}dt
\end{align}

を用いることができる．ただ，これを初見で思いつくのは無理．

1.答案

\begin{align}
\mathbb{E}_{X\sim f_X}[X]-\mathbb{E}_{Y\sim f_Y}[Y]&=\int_0^\infty P[t\leq X]dt-\int_{-\infty}^0\{1-P[t\leq X]\}dt\\
&\ \ \ \  -\int_0^\infty P[t\leq Y]dt+\int_{-\infty}^0\{1-P[t\leq Y]\}dt\\
&= \int_0^\infty\{P[t\leq X]-P[t\leq Y]\}dt+\int_{-\infty}^0\{P[t\leq X]-P[t\leq Y]\}dt\\
&= \int_{-\infty}^\infty \{P[t\leq X]-P[t\leq Y]\}dt
\end{align}

今，任意の実数tについて

P[t\leq X]\geq P[t\leq Y]

が成り立つのだから

\mathbb{E}_{X\sim f_X}-\mathbb{E}_{Y\sim f_Y}[Y]\geq 0

2.方針

\begin{align}
x=F_X^{-1}(t)&\Leftrightarrow t=F_X(x)\\
&\Leftrightarrow t=P[X\leq x]\\
y=F_Y^{-1}(t)&\Leftrightarrow t=P[Y\leq y]
\end{align}

であることに注意する．

2.答案

x=F_X^{-1}(t),\ y=F_Y^{-1}(t)

と置く．今，任意の定数cについて

P[X\leq c]\leq P[Y\leq c]

が成り立つのだから任意の

t=P[X\leq x]=P[Y\leq y]

についてx=>yと言える．

参考文献

『現代数理統計学の基礎』(久保川達也　著)