Quaternionの数学的理解メモその1
Quaternionの数学的理解メモその2

クォータニオンによる回転

回転軸とベクトルが直交している場合

xからx'に回転する事を考える。
ベクトルyを以下のように定義する。

Y≡XR

ベクトルxと回転軸rは直交している為、

\begin{array}{ccl} Y & = & XR \\  & = & -[[x\cdot r,\quad \sigma _{ 1 }(x\times r)_{ 1 }+\sigma _{ 2 }(x\times r)_{ 2 }+\sigma _{ 3 }(x\times r)_{ 3 }]] \\  & = & -[[0, \quad \sigma _{ 1 }(x\times r)_{ 1 }+\sigma _{ 2 }(x\times r)_{ 2 }+\sigma _{ 3 }(x\times r)_{ 3 }]] \end{array}

となる。この時ベクトルy,x,x'は同一平面上に存在する。
よって、

\begin{array}{ccl} X' & = & Xcos\theta +Ysin\theta  \\  & = & X(Ecos\theta +Rsin\theta ) \\  & = & X[[cos\theta ,\quad \sigma _{ 1 }r_{ 1 }sin\theta +\sigma _{ 2 }r_{ 2 }sin\theta +\sigma _{ 3 }r_{ 3 }sin\theta ]] \end{array}

上の式が前回の最後の式と等しい事はXがユニタリ行列かつ逆エルミート行列であることを用いれば分かる。

任意軸の場合

x=x_{\bot}+x_{\parallel}

ベクトルxを回転軸rに直交するものと平行なものに分離して考えると、

\begin{array}{ccl} X' & = & X_{ \bot  }cos\theta +Ysin\theta +X_{ \parallel  } \\  & = & X_{ \bot  }V(\theta )+X_{ \parallel  } \\  & = & X_{ \bot  }V(\theta /2)V(\theta /2)+X_{ \parallel  } \\  & = & \left( X_{ \bot  }V(\theta /2) \right) cos\frac { \theta  }{ 2 } +\left( X_{ \bot  }V(\theta /2) \right) Rsin\frac { \theta  }{ 2 } +X_{ \parallel  } \\  & = & \left( X_{ \bot  }V(\theta /2) \right) cos\frac { \theta  }{ 2 } -R\left( X_{ \bot  }V(\theta /2) \right) sin\frac { \theta  }{ 2 } +X_{ \parallel  } \\  & = & \left( cos\frac { \theta  }{ 2 } -Rsin\frac { \theta  }{ 2 }  \right) \left( X_{ \bot  }V(\theta /2) \right) +X_{ \parallel  } \\  & = & V^{ * }(\theta /2)X_{ \bot  }V(\theta /2)+X_{ \parallel  } \\  & = & V^{ * }(\theta /2)X_{ \bot  }V(\theta /2)+V(\theta /2)V^{ * }(\theta /2)X_{ \parallel  } \\  & = & V^{ * }(\theta /2)X_{ \bot  }V(\theta /2)+V^{ * }(\theta /2)X_{ \parallel  }V(\theta /2) \\  & = & V^{ * }(\theta /2)XV(\theta /2) \end{array}

途中以下の外積の性質を用いている。

x \times y= -y \times x

ちなみにこの変換はユニタリ変換の一つである

回転の合成

行列の結合性からすぐ可能であることが分かる。