5
6

Delete article

Deleted articles cannot be recovered.

Draft of this article would be also deleted.

Are you sure you want to delete this article?

More than 5 years have passed since last update.

Quaternionの数学的理解メモ その3

Last updated at Posted at 2014-02-11

Quaternionの数学的理解メモ その1
Quaternionの数学的理解メモ その2

#クォータニオンによる回転
##回転軸とベクトルが直交している場合
graph.png

xからx'に回転する事を考える。
ベクトルyを以下のように定義する。

Y≡XR

ベクトルxと回転軸rは直交している為、

\begin{array}{ccl} Y & = & XR \\  & = & -[[x\cdot r,\quad \sigma _{ 1 }(x\times r)_{ 1 }+\sigma _{ 2 }(x\times r)_{ 2 }+\sigma _{ 3 }(x\times r)_{ 3 }]] \\  & = & -[[0, \quad \sigma _{ 1 }(x\times r)_{ 1 }+\sigma _{ 2 }(x\times r)_{ 2 }+\sigma _{ 3 }(x\times r)_{ 3 }]] \end{array}

となる。この時ベクトルy,x,x'は同一平面上に存在する。
よって、

\begin{array}{ccl} X' & = & Xcos\theta +Ysin\theta  \\  & = & X(Ecos\theta +Rsin\theta ) \\  & = & X[[cos\theta ,\quad \sigma _{ 1 }r_{ 1 }sin\theta +\sigma _{ 2 }r_{ 2 }sin\theta +\sigma _{ 3 }r_{ 3 }sin\theta ]] \end{array}

上の式が前回の最後の式と等しい事はXがユニタリ行列かつ逆エルミート行列であることを用いれば分かる。

##任意軸の場合

x=x_{\bot}+x_{\parallel}

ベクトルxを回転軸rに直交するものと平行なものに分離して考えると、

\begin{array}{ccl} X' & = & X_{ \bot  }cos\theta +Ysin\theta +X_{ \parallel  } \\  & = & X_{ \bot  }V(\theta )+X_{ \parallel  } \\  & = & X_{ \bot  }V(\theta /2)V(\theta /2)+X_{ \parallel  } \\  & = & \left( X_{ \bot  }V(\theta /2) \right) cos\frac { \theta  }{ 2 } +\left( X_{ \bot  }V(\theta /2) \right) Rsin\frac { \theta  }{ 2 } +X_{ \parallel  } \\  & = & \left( X_{ \bot  }V(\theta /2) \right) cos\frac { \theta  }{ 2 } -R\left( X_{ \bot  }V(\theta /2) \right) sin\frac { \theta  }{ 2 } +X_{ \parallel  } \\  & = & \left( cos\frac { \theta  }{ 2 } -Rsin\frac { \theta  }{ 2 }  \right) \left( X_{ \bot  }V(\theta /2) \right) +X_{ \parallel  } \\  & = & V^{ * }(\theta /2)X_{ \bot  }V(\theta /2)+X_{ \parallel  } \\  & = & V^{ * }(\theta /2)X_{ \bot  }V(\theta /2)+V(\theta /2)V^{ * }(\theta /2)X_{ \parallel  } \\  & = & V^{ * }(\theta /2)X_{ \bot  }V(\theta /2)+V^{ * }(\theta /2)X_{ \parallel  }V(\theta /2) \\  & = & V^{ * }(\theta /2)XV(\theta /2) \end{array}

途中以下の外積の性質を用いている。

x \times y= -y \times x

ちなみにこの変換はユニタリ変換の一つである

##回転の合成
行列の結合性からすぐ可能であることが分かる。

5
6
0

Register as a new user and use Qiita more conveniently

  1. You get articles that match your needs
  2. You can efficiently read back useful information
  3. You can use dark theme
What you can do with signing up
5
6

Delete article

Deleted articles cannot be recovered.

Draft of this article would be also deleted.

Are you sure you want to delete this article?