Git Bash (mintty) で試しましたが、他の環境では異なる結果を確認しました(調査中)

tee コマンドで /dev/stderr に出力することで画面にも出るようにできる。

$ cat sep.txt
----
$
$ echo hoge | tee /dev/stderr | cat sep.txt - sep.txt
hoge
----
hoge
----
$
$ echo hoge | tee /dev/stdout | cat sep.txt - sep.txt
----
hoge
hoge
----
$

※ /dev/stdout を使うと、両方 pipe されて cat に渡る点に注意

実用例

curl telnet に HTTPリクエストを送りつつ画面にも出力したいとき

$ echo -e "GET / HTTP/1.1\r\nHost: example.com\r\n\r\n" | tee /dev/stderr | curl -s telnet://example.com:80
GET / HTTP/1.1
Host: example.com


HTTP/1.1 200 OK
Age: 250082
Cache-Control: max-age=604800
Content-Type: text/html; charset=UTF-8
Date: Tue, 05 May 2020 14:10:05 GMT
Etag: "3147526947+ident"
Expires: Tue, 12 May 2020 14:10:05 GMT
Last-Modified: Thu, 17 Oct 2019 07:18:26 GMT
Server: ECS (sjc/4E76)
Vary: Accept-Encoding
X-Cache: HIT
Content-Length: 1256

<!doctype html>
<html>
<head>
    <title>Example Domain</title>

    <meta charset="utf-8" />
    <meta http-equiv="Content-type" content="text/html; charset=utf-8" />
    <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1" />
    <style type="text/css">
(後略)

前半の

GET / HTTP/1.1
Host: example.com

の部分が tee /dev/stderr からの標準エラー出力

後半の

HTTP/1.1 200 OK
Accept-Ranges: bytes
Age: 433530
Cache-Control: max-age=604800
Content-Type: text/html; charset=UTF-8
Date: Tue, 05 May 2020 14:02:02 GMT
Etag: "3147526947+ident"
Expires: Tue, 12 May 2020 14:02:02 GMT
Last-Modified: Thu, 17 Oct 2019 07:18:26 GMT
Server: ECS (sjc/4E74)
Vary: Accept-Encoding
X-Cache: HIT
Content-Length: 1256

<!doctype html>
<html>
<head>
    <title>Example Domain</title>

    <meta charset="utf-8" />
    <meta http-equiv="Content-type" content="text/html; charset=utf-8" />
    <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1" />
    <style type="text/css">
(後略)

の部分が curl からの標準出力

注意点

画面出力に標準エラー出力を使って問題ないか仕様や制約を要確認

参考

【 tee 】コマンド――標準出力とファイルの両方に出力する：Linux基本コマンドTips（65） - ＠IT