非復元抽出のイメージ

サンプルを複数個取り出すときに（それらに便宜上順番をつけたときに）戻さない
⇒結果として抽出される要素数が１つずつ減っていく⇒階乗などをよく使って計算

標本平均を非復元抽出でサンプリングしたときの計算例

非復元抽出による標本平均に関する公式（以下の２つ）、及びその証明の計算

平均が $\mu$ 、分散が $\sigma^2$ の大きさ（＝母集団の要素数）$N$ の母集団がある。
（つまりは、$E(X)=\mu 、V(X)=\sigma^2$ のとき）
この母集団から大きさ $n$ の標本 $X_{i}　ただし、i = 1,2,・・・n$ の標本を非復元抽出する。
このとき標本平均
$$\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n {X_i}　を考えると$$

$$E(\bar{X})=\mu、V(\bar{X})=\frac{N-n}{N-1}\frac{\sigma^2}{n}　　なお、N→ \infty のとき、\frac{N-n}{N-1}\frac{\sigma^2}{n}→\frac{\sigma^2}{n}　　※ n は固定して考える（独立している）$$

が成り立つ。（つまりは「平均の平均」を考えています）

なお、本によっては、$\mu（ミュー）$ が $m$ になっている場合もあります。
対応関係さえ合っていれば、計算はあっているので、適宜読み替えてください。

なお、ミューは m に対応するギリシャ文字です。
（mean の「m」と思われます。※以下参照）

Githubリンク（上記の資料と同じものです）

よくお世話になっている参考資料一覧（※全部の内容を自分も理解できているわけではないです。）

・統計検定1級公式問題集　実務教育出版　
　※過去問のページもありました。　https://www.toukei-kentei.jp/prepare/kakomon/
・青チャートI＋A、Ⅱ＋B　数研出版
・大学への数学　１対１対応　数Ⅲ・数B
（今は、例えばこれで高校生も標本平均を学習しているはず）
・理工系の微分積分学　吹田信之、新保経彦　共著　学術図書出版書
・線形代数入門　齋藤正彦　著　東京大学出版会
・定本　解析概論　高木貞治　著　岩波書店　
・数学シリーズ　数理統計学　改訂版　稲垣萱生　著　裳華房
・数学シリーズ　集合と位相　内田伏一　著　裳華房
・one point 推定と検定　鷲尾泰俊　著　共立出版
・電磁場とベクトル解析　深谷賢治　著　岩波書店
・シリーズ物理数学1　フーリエ解析　江沢　洋　著　朝倉書店
（※一見、統計とは全く関係なさそうですが、実は中に統計・確率に関する章があります。しかも結構詳しく書いてくれてある。江沢さんの本は難しいけど丁寧だから基本オススメ