以下の資料の計算はあくまで過去に個人的に確認したもので、公的に査読されていないため、間違っている箇所があれば、遠慮なくご連絡いただけるとありがたいです。
※この記事は途中です
全体の問題のリンクも載せますが、例えば 統計検定2022 統計数理 問３（３） の問題文は以下のようになっていました。
上問〔１〕におけるパラメータ $\lambda$ が上問〔２〕のガンマ分布 $G(\alpha,\beta)$ に従うとき、確率変数 $X$ に関する確率 $P(X=k)$ を求めよ。（※ここで以下のことに注意）
注１： $\lambda$ はポアソン分布のパラメータで〔１〕では「離散型」確率変数 $X$ は従うとしています。すなわち、
f(k)=P(X=k)=\frac{{\lambda}^k}{k!}e^{-\lambda} （k=0,1,2,・・・）
という式の中で$\lambda$ を使っている。
注２： ガンマ分布 $G(\alpha,\beta)$ は以下の非負の「連続型」確率密度関数に従う確率分布である。
g(\lambda) = \frac{{\beta}^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}{\lambda}^{\alpha-1}e^{-\beta\lambda} なお、\lambda \geq 0
ただし、 $\alpha、\beta は、\alpha > 0 、\beta > 0$ を満たす実数であり、ここの$\Gamma(\alpha)$ は
\Gamma(\alpha) = \int_{0}^\infty t^{\alpha-1}e^{-t}dt = \lim_{s\to\infty}\int_0^s t^{\alpha-1}e^{-t}dt
と定義される 関数（※階乗を一般化した関数、ガンマ関数（$\Gamma$関数）といいます。なお、$\Gamma$ もギリシャ文字）である。
注３：問題文に書かれていない部分では、$f(k) 、 g(\lambda)$ は定義されていない部分では、恒等的に（べったりずっと）0 であるとして計算を進める必要がある。
※原本
chrome-extension://efaidnbmnnnibpcajpcglclefindmkaj/https://static.toukei-kentei.jp/wp-content/uploads/20230112122939/202211grade1suri-20230112122939-20230112122939.pdf
https://qiita.com/thinking-weed/items/8099d221865afd6db3c6
上記Qiitaのように〔１〕〔２〕までは分かったのですが、〔３〕から以下の問題が出てきて
(-_-;)？？何これ日本語？？(>｡<)ｺﾞﾎｯｺﾞﾎｯみたいな感じです。このQiitaもまだ気持ち悪い。
上問〔１〕におけるパラメータ $\lambda$ が上問〔２〕のガンマ分布 $G(\alpha,\beta)$ に従うとき、確率変数 $X$ に関する確率 $P(X=k)$ を求めよ。（※ここで以下のことに注意）
これ、初見何言ってるかよく分かんなかった（´д｀）ので、散々調べた結果、こうではないかという解釈をしました。
（連続型）確率変数 $\Lambda = \lambda$ がガンマ分布 $G(\alpha,\beta)$ に従うという条件を満たしながら
（離散型）確率変数 $X$ が $X=k$ となるときの確率（密度関数）を求めよ。
要は、
「〔１〕では、$\lambda$ は定数として扱って計算進めたところを、変数として扱って、
確率 $f(X=k かつ \Lambda=\lambda)$ を計算せよ。」
みたいなかんじです。
で、結局これ何計算してるん？？？（´д｀）
たぶん「ここでは」、このように定義して計算を進めているのではないかと思われます。
次の記事と参考資料⑥に載っている定義を参考にしました。
https://wiis.info/math/probability/continuous-probability-distribution/continuous-conditional-random-distribution/#elementor-toc__heading-anchor-0
\displaylines{
P(X=k かつ \Lambda=\lambda)=P(\Lambda=\lambda)P(X \ni k|\Lambda=\lambda)\\
=\int_{-\infty}^{\infty}g(\lambda)d\lambda × P(X \ni k|\Lambda=\lambda) ???
}
なお、要はいわゆる「乗法の定理」で、
$P(X \ni k|\Lambda=\lambda)$ は「確率変数$\Lambda$に$\Lambda=\lambda$ を与えたときの確率変数$X$ の条件付き確率（密度関数）」
長かった…(´д｀)ここからようやく答えの計算です。
※すみません。まだ検証途中ですm(_ _)m
統計でよく使うギリシャ文字（＝ローマ文字）早見表
以下の高知工科大学のサイトがまとまっていたため、リンクを貼っておきます
http://www.ele.kochi-tech.ac.jp/tacibana/etc/analog-intro/greek-alpha.html
参考資料一覧（※全部の内容を自分も理解できているわけではないです。）
①統計検定1級公式問題集 実務教育出版
※過去問のページ https://www.toukei-kentei.jp/prepare/kakomon/
②青チャートI＋A、Ⅱ＋B 数研出版
③理工系の微分積分学 吹田信之、新保経彦 共著 学術図書出版書
④線形代数入門 齋藤正彦 著 東京大学出版会
⑤定本 解析概論 高木貞治 著 岩波書店
⑥数学シリーズ 数理統計学 改訂版 稲垣萱生 著 裳華房
⑦数学シリーズ 集合と位相 内田伏一 著 裳華房
⑧one point 推定と検定 鷲尾泰俊 著 共立出版
⑨電磁場とベクトル解析 深谷賢治 著 岩波書店
⑩基礎数学８〔新版〕複素解析 高橋礼司 著 東京大学出版会（$\Gamma関数$に関する記述がたぶん解析概論の次に詳しく載っている？自分が知っているそこそこメジャーな数学書）
⑪岩波 数学入門辞典
青本和彦・上野健爾・加藤和也・神保道夫・砂田利一・高橋陽一郎・深谷賢治・俣野 博・室田一雄 共著（日本数学界の重鎮たちによる数学用語の辞書。大概何でも載ってるが、あくまでヒントしかくれない(-_-;)）