以下の資料の計算はあくまで過去に個人的に確認したもので、公的に査読されていないため、間違っている箇所があれば、遠慮なくご連絡いただけるとありがたいです。

※この記事は途中です

全体の問題のリンクも載せますが、例えば 統計検定2022　統計数理　問３（３） の問題文は以下のようになっていました。

上問〔１〕におけるパラメータ $\lambda$ が上問〔２〕のガンマ分布 $G(\alpha,\beta)$ に従うとき、確率変数 $X$ に関する確率 $P(X=k)$ を求めよ。（※ここで以下のことに注意）

注１： $\lambda$ はポアソン分布のパラメータで〔１〕では「離散型」確率変数 $X$ は従うとしています。すなわち、

f(k)=P(X=k)=\frac{{\lambda}^k}{k!}e^{-\lambda}　　（k=0,1,2,・・・）

という式の中で$\lambda$ を使っている。

注２：ガンマ分布 $G(\alpha,\beta)$ は以下の非負の「連続型」確率密度関数に従う確率分布である。

g(\lambda) = \frac{{\beta}^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}{\lambda}^{\alpha-1}e^{-\beta\lambda}　   　　　なお、\lambda \geq 0

ただし、 $\alpha、\beta　は、\alpha > 0 、\beta > 0$　を満たす実数であり、ここの$\Gamma(\alpha)$ は

\Gamma(\alpha) = \int_{0}^\infty t^{\alpha-1}e^{-t}dt = \lim_{s\to\infty}\int_0^s t^{\alpha-1}e^{-t}dt

と定義される 関数（※階乗を一般化した関数、ガンマ関数（$\Gamma$関数）といいます。なお、$\Gamma$ もギリシャ文字）である。

注３：問題文に書かれていない部分では、$f(k) 、 g(\lambda)$　は定義されていない部分では、恒等的に（べったりずっと）0 であるとして計算を進める必要がある。

※原本
chrome-extension://efaidnbmnnnibpcajpcglclefindmkaj/https://static.toukei-kentei.jp/wp-content/uploads/20230112122939/202211grade1suri-20230112122939-20230112122939.pdf

https://qiita.com/thinking-weed/items/8099d221865afd6db3c6
上記Qiitaのように〔１〕〔２〕までは分かったのですが、〔３〕から以下の問題が出てきて
(-_-;)？？何これ日本語？？(>｡<)ｺﾞﾎｯｺﾞﾎｯみたいな感じです。このQiitaもまだ気持ち悪い。

上問〔１〕におけるパラメータ $\lambda$ が上問〔２〕のガンマ分布 $G(\alpha,\beta)$ に従うとき、確率変数 $X$ に関する確率 $P(X=k)$ を求めよ。（※ここで以下のことに注意）

これ、初見何言ってるかよく分かんなかった（´д｀）ので、散々調べた結果、こうではないかという解釈をしました。

（連続型）確率変数 $\Lambda = \lambda$ がガンマ分布 $G(\alpha,\beta)$ に従うという条件を満たしながら
（離散型）確率変数 $X$ が $X=k$ となるときの確率（密度関数）を求めよ。

要は、
「〔１〕では、$\lambda$ は定数として扱って計算進めたところを、変数として扱って、
確率 $f(X=k　かつ　\Lambda=\lambda)$ を計算せよ。」
みたいなかんじです。

で、結局これ何計算してるん？？？（´д｀）

たぶん「ここでは」、このように定義して計算を進めているのではないかと思われます。
次の記事と参考資料⑥に載っている定義を参考にしました。
https://wiis.info/math/probability/continuous-probability-distribution/continuous-conditional-random-distribution/#elementor-toc__heading-anchor-0

\displaylines{
    P(X=k　かつ　\Lambda=\lambda)=P(\Lambda=\lambda)P(X \ni k|\Lambda=\lambda)\\
    =\int_{-\infty}^{\infty}g(\lambda)d\lambda × P(X \ni k|\Lambda=\lambda)　　???
}

なお、要はいわゆる「乗法の定理」で、
$P(X \ni k|\Lambda=\lambda)$ は「確率変数$\Lambda$に$\Lambda=\lambda$ を与えたときの確率変数$X$ の条件付き確率（密度関数）」

長かった…(´д｀)ここからようやく答えの計算です。

※すみません。まだ検証途中ですm(_ _)m

統計でよく使うギリシャ文字（＝ローマ文字）早見表

以下の高知工科大学のサイトがまとまっていたため、リンクを貼っておきます
http://www.ele.kochi-tech.ac.jp/tacibana/etc/analog-intro/greek-alpha.html

参考資料一覧（※全部の内容を自分も理解できているわけではないです。）

①統計検定1級公式問題集　実務教育出版　
　※過去問のページ　https://www.toukei-kentei.jp/prepare/kakomon/
②青チャートI＋A、Ⅱ＋B　数研出版
③理工系の微分積分学　吹田信之、新保経彦　共著　学術図書出版書
④線形代数入門　齋藤正彦　著　東京大学出版会
⑤定本　解析概論　高木貞治　著　岩波書店　
⑥数学シリーズ　数理統計学　改訂版　稲垣萱生　著　裳華房
⑦数学シリーズ　集合と位相　内田伏一　著　裳華房
⑧one point 推定と検定　鷲尾泰俊　著　共立出版
⑨電磁場とベクトル解析　深谷賢治　著　岩波書店
⑩基礎数学８〔新版〕複素解析　高橋礼司　著　東京大学出版会（$\Gamma関数$に関する記述がたぶん解析概論の次に詳しく載っている？自分が知っているそこそこメジャーな数学書）
⑪岩波　数学入門辞典　
青本和彦・上野健爾・加藤和也・神保道夫・砂田利一・高橋陽一郎・深谷賢治・俣野　博・室田一雄　共著（日本数学界の重鎮たちによる数学用語の辞書。大概何でも載ってるが、あくまでヒントしかくれない(-_-;)）