微分方程式解法の流れ
- まず方程式の形を識別→形ごとの解き方を適用
- 微分演算子と逆演算子についてはこちら
- 未定係数法と逆演算子法：特殊解を求める2つの方法の比較
- 逆演算子法における因数分解と公式適用の場合分け
- 多項式関数と指数関数の関係 (未定係数法における解釈)、解の線形独立性、共鳴の規則
- 微分方程式の学習の段階
- 基礎的な形と解法は以下の通り
変数分離形
- $\frac{dy}{dy} = \frac{f(x)}{g(y)}$
- 変数を分離：$g(y) dy = f(x) dx$
- 両辺を積分：$\int g(y) dy = \int f(x) dx$
同次形微分方程式
- $\frac{dy}{dx} = f\left(\frac{y}{x}\right)$
- $y = vx$, $y' = v'x + v$ と置換し上の式に代入すると変数分離形になる
線形微分方程式
- $\frac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x)$ (または $y' + P(x) y = Q(x)$)
-
[一般解]
$$
y = e^{-\int P(x) dx} \left( \int Q(x) e^{\int P(x) dx} dx + C \right)
$$
ベルヌーイの微分方程式
- $\frac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x) y^n$
- [解法]
- $z = y^{1-n}$ と置換すると線形微分方程式に帰着。
$z' = (1-n) y^{-n} y'$ より $y' = \frac{1}{1-n} y^n z'$。
元の式に代入：
$$
\frac{1}{1-n} y^n z' + P(x) y = Q(x) y^n
$$
両辺を $y^n$ で割る（$y=0$ は自明な解として除外）：
$$
\frac{1}{1-n} z' + P(x) y^{1-n} = Q(x)
$$
$$
z' + (1-n) P(x) z = (1-n) Q(x)
$$
完全微分方程式
-
$P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0$
-
条件: $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$
-
このとき、ある関数 $u(x, y)$ が存在し、$du(x, y) = P dx + Q dy = 0$ と書ける。
-
[一般解]
$u(x, y) = C$
または
$$
\int_a^x P(x, y) dx + \int_b^y Q(a, y) dy = C
$$
(a, b は任意定数; C は任意定数) -
積分因子 を用いる場合
- 完全でない微分方程式が完全になる場合がある。
- 積分因子 $\lambda$ をかけると完全微分方程式になる。
- $\lambda = e^{\int \phi(x) dx}$
- $\phi(x) = \frac{1}{P} \left( \frac{\partial P}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial x} \right)$ （$\phi(x)$ が $x$ のみの関数になる場合）
- $\phi(y) = \frac{1}{Q} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right)$ （$\phi(y)$ が $y$ のみの関数になる場合）
よく出る形１
-
$y'' = f(y')$
-
$p = y'$ と置く。
-
$\frac{dp}{dx} = f(p)$
- これを変数分離形として解く $\rightarrow p = G(x, C)$
-
$p = y' = \frac{dy}{dx} = G(x, C)$
- これを積分する $\rightarrow y = \int G(x, C) dx + C$
よく出る形２
-
$y'' = f(y)$
-
独立変数 $x$ を消去し、階数を減らす。
-
$y' = \frac{dy}{dx}$ とし、$y'' = \frac{dy'}{dx}$ で表す。
-
$y'' = \frac{dy'}{dx}$ だが、$y' = f(y)$ なので、
$$
y'' = \frac{dy'}{dy} \frac{dy}{dx}
$$- $y' = \frac{dy}{dx}$ なので、
$$
y'' = y' \frac{dy'}{dy}
$$
- $y' = \frac{dy}{dx}$ なので、
-
これを $y'' = f(y)$ に代入すると、
$$
y' \frac{dy'}{dy} = f(y)
$$- これは変数分離形（階数削減された方程式）なので、
$y' dy' = f(y) dy$
$\int y' dy' = \int f(y) dy$
$\frac{1}{2}(y')^2 + C_1 = \int f(y) dy + C_2$
$(y')^2 = 2 \int f(y) dy + C_2 - C_1$
$C = C_2 - C_1$ とおくと、
$(y')^2 = 2 \int f(y) dy + C$
$$
y' = \pm \sqrt{2 \int f(y) dy + C}
$$ - $\frac{dy}{dx} = \pm \sqrt{2 \int f(y) dy + C}$
- これは変数分離形となり、これを積分すれば解が得られる。
$$
\frac{1}{\pm \sqrt{2 \int f(y) dy + C}} dy = dx
$$ - 両辺を積分すると、
$$
\int \frac{1}{\pm \sqrt{2 \int f(y) dy + C}} dy = x + C_3
$$ - この積分は、$f(y)$ が $y$ の具体的な関数でないと、$y$ と $x$ の陽関数として表すのは困難。
- $f(x)$ が具体的な関数であれば適用できる。
- これは変数分離形（階数削減された方程式）なので、
よく出る形２ 別解
-
$y'' = f(y)$
-
$2y''y' = 2f(y)y'$ を両辺に $2y'$ を掛ける。
両辺に $2y'$ を掛けるパターンは、エネルギー保存則等、物理的な問題でよく用いられる。 -
$\frac{d(y')^2}{dx} = \frac{d}{dx} (y'y') = y''y' + y'y'' = 2y''y'$
- この式変形に気付けないとつらい
-
$2f(y)y'$ は、
$$
2f(y)y' = 2f(y)\frac{dy}{dx}
$$ -
したがって、
$$
\frac{d(y')^2}{dx} = 2f(y) \frac{dy}{dx}
$$- $dx$ が消去でき、$y'$ と $y$ による表現になった。
-
両辺を積分。
- $d f(u)$ の積分は $f(u)$ であるから、
$$
(y')^2 = 2 \int f(y) dy + C
$$
- $d f(u)$ の積分は $f(u)$ であるから、
[解法]
- $y' = \frac{dy}{dx} = \pm \sqrt{2 \int f(y) dy + C}$
- これは変数分離形なので、$f(y)$ が具体的な関数なら機械的に解ける。
(補説)
-
$\frac{d(y')^2}{dx} = 2f(y) \frac{dy}{dx}$ を積分する時の思考手順：
- この形は $(y')^2$ の $x$ による積分なので、
$y' = \frac{dy}{dx} \implies dy = y' dx$ (変数変換テクニック)
または $dx = \frac{dy}{y'}$ と考えてもよい。
$$
(y')^2 = 2 \int f(y) dy + C
$$- したがって、
$$
y' = \frac{dy}{dx} = \pm \sqrt{2 \int f(y) dy + C}
$$
- この形は $(y')^2$ の $x$ による積分なので、
定数係数線形同次微分方程式
$y^{(n)} + a_1 y^{(n-1)} + \dots + a_{n-1} y' + a_n y = R(x) = 0$
または
$y^{(n)} + a_1 y^{(n-1)} + \dots + a_n y = 0$
- $f(D) = D^n + a_1 D^{n-1} + \dots + a_{n-1}D + a_n$ とおく（$D = \frac{d}{dx}$: 微分演算子）
- $f(D) y = 0$
- 以下の形がある
$D^n y = 0$
- $y = C_1 + C_2 x + \dots + C_n x^{n-1}$ [一般解]
$(D-\alpha)^n y = 0$
- $y = (C_1 + C_2 x + \dots + C_n x^{n-1}) e^{\alpha x}$ [一般解]
$(D-\alpha)(D-\beta) y = 0$, ($\alpha \neq \beta$)
- $y = C_1 e^{\alpha x} + C_2 e^{\beta x}$ [一般解]
$(D^2 + kD + C) y = 0$ ($k^2 - 4C < 0$)
- 2次方程式の解が虚数解の場合
- $y = C_1 e^{\lambda x} \sin \mu x + C_2 e^{\lambda x} \cos \mu x$ [一般解]
- $\lambda, \mu$ の決め方: $t^2 + kt + C = 0$ の解が $t = \lambda \pm i \mu$
2階定数係数同次微分方程式
-
$y'' + ky' + Cy = 0$
- 補助方程式 $t^2 + kt + C = 0$ の解を求める
-
上のまとめ
- 実数解 $\alpha, \beta$ ($\alpha \neq \beta$) $\rightarrow y = C_1 e^{\alpha x} + C_2 e^{\beta x}$
- 実数解 $\alpha$ (2重解) $\rightarrow y = (C_1 + C_2 x) e^{\alpha x}$
-
虚数解 $\lambda \pm i \mu$ $\rightarrow y = C_1 e^{\lambda x} \sin \mu x + C_2 e^{\lambda x} \cos \mu x$
[一般解]
(補説)
- $ax^2 + bx + c = 0$
- 判別式 $D = b^2 - 4ac < 0$ のとき
- $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-b \pm \sqrt{-(4ac-b^2)}}{2a} = \frac{-b \pm i\sqrt{4ac-b^2}}{2a} = -\frac{b}{2a} \pm i \frac{\sqrt{4ac-b^2}}{2a}$
定数係数線形非同次微分方程式
- $L(y) = R(x)$: n階定数係数線形非同次方程式
- $u(x, c_1, c_2, \dots, c_n)$: $L(y)=0$ の一般解を求める。一般解の求め方は定数係数線形同次方程式のものを参照 (i)
- $Y_P$: 上の一般解の特殊解を求める (ii)
- $y = u(x, c_1, c_2, \dots, c_n) + Y_0$: n階定数係数線形非同次方程式の一般解 (iii)
- (i)(ii)(iii)の手順で求める
-
以下は $L(y)=R(x)$ の形とそれらに対応する特殊解の説明
-
$y^{(n)} + a_1 y^{(n-1)} + \dots + a_n y = F(x)$
- $y=(C_0 x^k + \dots + C_k$)が特殊解。 $y$ を上式に代入して $C_i$ を求める。
-
$y^{(n)} + a_1 y^{(n-1)} + \dots + a_{n-1} y^{(1)} = F(x)$
- $a_n=0$ の場合
$$
y = x \phi(x)
$$ - 求め方は上と同じ
- $a_n=0$ の場合
-
$f(D) y = k e^{\alpha x}$
- $f(\alpha) \neq 0$ の時 $y = A e^{\alpha x}$
- $f(\alpha) = 0$ 且つ $x=0$ が補助方程式 $f(t)=0$ の1重解の時 $y = A x e^{\alpha x}$
-
$f(D) y = h \sin \alpha x + k \cos \alpha x$
- $f(i\alpha) \neq 0$ ならば
$y = A \sin \alpha x + B \cos \alpha x$ - $f(i\alpha) = 0$ で $t=i\alpha$ が補助方程式 $f(t)=0$ の 1重解
$y = x(A \sin \alpha x + B \cos \alpha x)$
- $f(i\alpha) \neq 0$ ならば
重ね合わせの原理
- $f(D) y = F_1(x)$ の特殊解が $Y_1(x)$
- $f(D) y = F_2(x)$ の特殊解が $Y_2(x)$
のとき - $Y_1(x) + Y_2(x)$ は $f(D) y = F_1(x) + F_2(x)$ の特殊解