Kraus表現を用いた量子ノイズを見ていき，それをQiskitを用いてシミュレートします．
Kraus表現
量子系の時間発展はTPCP写像で与えられますが，TPCP写像は
$$
\sum_{i=1}^m K_i^\dagger K_i =I
$$
を満たすKraus演算子$K_i$を用いて以下のように表せます．
$$
\rho\mapsto\sum_{i=1}^m K_i \rho K_i^\dagger
$$
このように時間発展を表現することをKraus表現と呼びます．
この後紹介する例の中では，初期状態を次のように定義します．
circ = QuantumCircuit(1)
circ.rx(np.pi / 3, 0)
circ.rz(np.pi / 4, 0)
state = DensityMatrix(circ)
plot_bloch_multivector(state)
この状態に対し，いくつか代表的なノイズを作用させてみます．
Amplitude Damping Noise（自然放出）
Kraus演算子は
$$
\begin{align}
K_1&=|0\rangle\langle0|+\sqrt{1-p } |1\rangle\langle1| \\
K_2&=\sqrt{p}|0\rangle\langle1|
\end{align}
$$
です．
from qiskit.circuit import QuantumCircuit
from qiskit.quantum_info import DensityMatrix
from qiskit.visualization import plot_bloch_multivector
from qiskit.quantum_info import Kraus
from qiskit_aer.noise import amplitude_damping_error
p = 0.5
amp_error = Kraus(amplitude_damping_error(p))
print(amp_error)
#Kraus([[[-1. +0.j, 0. +0.j],
# [ 0. +0.j, -0.9539392+0.j]],
#
# [[ 0. +0.j, 0.3 +0.j],
# [ 0. +0.j, 0. +0.j]]],
# input_dims=(2,), output_dims=(2,))
確かに定義通りの演算子となっていることがわかります．実際に回路で作用させてみましょう．
circ = QuantumCircuit(1)
circ.rx(np.pi / 3, 0)
circ.rz(np.pi / 4, 0)
circ.append(amp_error, [0])
state = DensityMatrix(circ)
plot_bloch_multivector(state)
確かに，$|1\rangle$が$|0\rangle$に落ちていく様子が分かります．
Dephasing Noise(位相緩和)
Kraus演算子は
$$
\begin{aligned}
K_1&=\sqrt{1-\frac{p}{2}} I \\
K_2&=\sqrt{\frac{p}{2}} \sigma_z
\end{aligned}
$$
def dephasing_noise(p):
return Kraus([np.array([[np.sqrt(1 - p / 2), 0],
[0, np.sqrt(1 - p / 2)]], dtype = "complex128"),
np.array([[np.sqrt(p / 2), 0],
[0, -np.sqrt(p / 2)]], dtype = "complex128")])
circ = QuantumCircuit(1)
circ.rx(np.pi / 3, 0)
circ.rz(np.pi / 4, 0)
circ.append(dephasing_noise(p), [0])
state = DensityMatrix(circ)
plot_bloch_multivector(state)
Z軸に近づいていっていることが分かります．
Depolarizing Noise（脱分極ノイズ）
Kraus演算子は
$$
K_1=\sqrt{1-\frac{3 \lambda}{4}} I,\ K_2=\sqrt{\frac{\lambda}{4}} X, \ K_3=\sqrt{\frac{\lambda}{4}} Y,\ K_4=\sqrt{\frac{\lambda}{4}} Z
$$
です．
def depolarizing_noise(p):
return Kraus([np.array([[np.sqrt(1 - 3 * p / 4), 0],
[0, np.sqrt(1 - 3 * p / 4)]], dtype = "complex128"),
np.array([[np.sqrt(p / 4), 0],
[0, -np.sqrt(p / 4)]], dtype = "complex128"),
np.array([[0, np.sqrt(p / 4)],
[np.sqrt(p / 4), 0]], dtype = "complex128"),
np.array([[0, - 1j * np.sqrt(p / 4)],
[1j * np.sqrt(p / 4), 0]], dtype = "complex128")])
circ = QuantumCircuit(1)
circ.rx(np.pi / 3, 0)
circ.rz(np.pi / 4, 0)
circ.append(depolarizing_noise(p), [0])
state = DensityMatrix(circ)
plot_bloch_multivector(state)
原点（=完全混合状態）に近づいていっていることがわかります．
ここで，depolarizing noiseはn個のqubitに対して
$$
\rho\mapsto(1-\lambda) \rho+\lambda \frac{I}{2^n}
$$
のように定義されることをコメントしておきます（Kraus表現はどうなるんでしょうか？）．
コメント
dephasing, depolarizingでは自分でKraus演算子を定義しました．qiskit_aerを用いて
from qiskit_aer.noise import depolarizing_error, phase_damping_error
も実行できるのですが，dephasingのReferenceやdepolarizingのReferenceやには，上記とは異なるKraus演算子の定義がされています．
要するに，Kraus演算子は一意ではありません．ユニタリ行列$U$の成分を$U_{ij}$と表し，
$$
V_j := \sum_{i=1}^m U_{ji} K_i
$$
とすると，
$$
\begin{align}
\sum_{j=1}^m V_j \rho V_j^\dagger &=\sum_{j=1}^m \sum_{i=1}^m \sum_{k=1}^mU_{ji} K_i\rho U_{jk}^\ast K_k^\dagger \\
&=\sum_{i=1}^m K_i\rho K_i^\dagger
\end{align}
$$
となり，確かに写像先が同じになっていることが分かります．また完全性も同様に満たしていることが分かります．
最後に
今回はKraus表現を用いてノイズを自作してみました．
Version Information
| Software | Version |
|---|---|
| qiskit | 0.45.0 |
| System information | |
|---|---|
| Python version | 3.10.12 |